Чинність

У логіці аргумент є чинним тоді і тільки тоді, коли істинність висновку гарантується істинністю припущень.^[1] Необов'язково, щоб чинний аргумент мав фактично істинний засновок,^[2] але необхідно, щоб він мав засновки, які, якщо вони істинні, гарантували правдивість висновків аргументу. Формула є чинною тоді й лише тоді, якщо вона істинна у кожнім тлумаченні. Форма чи схема аргументу чинна тільки тоді, коли кожен аргумент логічної форми^[en] є чинним.

Аргумент вважається чинним у тому випадку, якщо істинність його засновків тягне за собою істинність його висновку, а кожен крок, субаргумент або логічна операція в аргументі є чинними. В таких умовах підтверджувати засновок та заперечувати висновок само собою суперечливо. Умовна відповідність чинного аргументу — це логічна істина, а заперечення його умовної відповідності — протиріччя. Висновок — це логічний наслідок його засновку.

Аргумент, що не є чинним, називають нечинний.

Як приклад чинного аргументу можна навести відомий силогізм.

Усі люди смертні.

Сократ — людина.

Отже, Сократ є смертним.

Цей аргумент чинний не тому, що в ньому істинний засновок і висновок, а тому, що він має логічну потребу у висновку, що дана двома засновками. Аргумент був би настільки ж дійсним, якби засновки та висновок були хибними. Наступний аргумент має таку ж саму логічну форму, але з хибними засновками та висновком, але він все одно чинний:

Усі чашки зелені.

Сократ є чашка.

Отже, Сократ — зелена чашка.

У жодному разі у цих аргументів не виявляться і істинні засновки, і хибний висновок водночас Вищезгадані аргументи є чинні, на відміну від наступного нечинного:

Усі люди безсмертні.

Сократ є людина.

Отже, Сократ — смертний.

У такому випадку висновок суперечить дедуктивній логіці попереднього засновку, а не випливає з нього. Отже аргумент логічно нечинний, хоча висновки можуть бути розцінені як правдиві у загальних рисах. Засновок «Усі люди безсмертні» також буде вважатися хибним, бо він виходить за межі класичної логіки. Проте, в рамках цієї системи «істина» та «хиба» по суті функціюють більше як математичні явища, як бінарні 1 і 0, ніж як філософські концепції, з якими їх зазвичай асоціюють.

За стандартним судженням, чинний аргумент чи ні, — це питання логічної форми аргументу. Логіки використовували численні методи, щоб зобразити логічну форму аргументу. Як простий приклад, що прив'язаний до вищезгаданих пояснень: нехай літери «A», «B» та «C» відповідно позначають людей взагалі, смертних людей та Сократа. Використовуючи ці символи, ми бачимо перший аргумент таким чином:

Усі «A» є «B».

«C» належить до «A»

Отже, «C» теж є «B».

За тією ж логікою третій аргумент записується таким чином:

Жоден з «A» не належить до «B».

«C» належить до «А».

Отже, «C» є «B».

Аргумент називають формально чинним, якщо у нього є структурна послідовність, тобто якщо, коли операнди між засновками істинні, отриманий висновок також відповідає істині. У третьому прикладі початкові засновки не можуть прийти до логічного висновку, а отже відносяться до нечинного аргументу.

Формула на формальній мові є чинною тоді і тільки тоді, коли вона істинна під кожним можливим мовним тлумаченням. Простіше кажучи, це тавтологія.

Ствердження може називатися чинним, тобто істинним з точки зору логіки, якщо воно чинне в усіх тлумаченнях.

Чинність дедукції не впливає на істину засновку чи висновку. Наступний дедуктивний висновок є цілком чинний:

Усі тварини живуть на Марсі.

Усі люди — тварини.

Отже, усі люди живуть на Марсі.

Проблема цього аргументу в тому, що він неправильний. Дедуктивний аргумент має бути правильним, а дедуктивний висновок — чинним, а всі засновки — істинними.

Теорія моделей аналізує формули відносно конкретних класів інтерпретації у відповідних математичних структурах. Отже, формула чинна, якщо всі інтерпретації підтверджують її істинність. Виведення чинне, якщо кожне тлумачення, що підтверджує засновок, підтверджує й висновок. Це явище відоме під назвою «змістова чинність».^[3]

У чинності, що зберігає істину, тлумачення, під якими кожна змінна призначається до логічного значення істинності, дає значення істинності.

У чинності, що зберігає хибу, тлумачення, під якими кожна змінна призначається до логічного значення хибності, дає значення хибності.^[4]

Формула «А» у логіці першого порядку є n-чинною тоді і тільки тоді, коли вона є істинною під кожним тлумаченням, що має область визначення саме n-ної кількості членів.

Формула у логіці першого порядку є ω-чинною тоді і тільки тоді, коли під кожним тлумаченням у мові вона залишається істинною та має область визначення — нескінченну кількість членів.

• Правильність