樽型空間

函数解析学および関連する数学において、樽型空間（たるがたくうかん、英: barrelled space）とは、その空間のすべての樽型集合が零ベクトルの近傍であるようなハウスドルフ位相線型空間のことをいう。ここで、ある位相線型空間における樽型集合 (barrel) とは、凸、均衡、併呑かつ閉である集合のことをいう。樽型空間が研究される理由として、バナッハ＝シュタインハウスの定理（英語版）の一種がそれらに対して成立することが挙げられる。

樽型空間は Bourbaki (1950) によって考えられた。

• 半ノルム線型空間における閉単位球は、樽型である。
• すべての局所凸位相線型空間は、樽型集合からなる近傍基を持つ。しかしそれ自身は必ずしも樽型空間ではない。
• フレシェ空間、特にバナッハ空間は、樽型である。しかし一般にノルム線型空間は樽型とは限らない。
• モンテル空間は樽型である。したがって、モンテル空間の強双対は（それらもモンテル空間であるため）樽型である。
• ベール空間であるような局所凸空間は、樽型である。

連続双対 ${\displaystyle X'}$ を持つハウスドルフ局所凸空間 ${\displaystyle X}$ に対して、以下は同値である。

• X は樽型である。
• 連続双対空間 X' のすべての ${\displaystyle \sigma (X',X)}$-有界部分集合は同程度連続である（これはバナッハ＝シュタインハウスの部分的な逆を与える）^[1]。
• 連続双対空間 X' のすべての部分集合 A に対して、次の性質は同値である：A は^[1]
  • 同程度連続
  • 相対弱コンパクト
  • 強有界
  • 弱有界
• X は強位相 ${\displaystyle \beta (X,X')}$ を備える。
• ${\displaystyle X}$ 上のすべての下半連続半ノルムが連続である。
• X 内の 0-近傍基と、${\displaystyle E_{\beta }'}$ 内の有界集合の基本族は、極性によってお互い対応する^[1]。

さらに

• すべての点列完備な準樽型空間は、樽型である。
• 樽型空間は必ずしも、モンテル、完備、距離化可能、非順序ベール型、およびバナッハ空間の帰納極限ではない。

ある位相線型空間 ${\displaystyle X}$ が準樽型空間であるとは、その中のすべての樽型有界型集合が ${\displaystyle 0}$ の近傍であることをいう。ここである集合が有界型であるとは、それが ${\displaystyle X}$ のすべての有界部分集合を併呑することをいう。すべての樽型空間は、準樽型である。

連続双対 ${\displaystyle X'}$ を持つ局所凸空間 ${\displaystyle X}$ に対して、以下は同値である。

• ${\displaystyle X}$ は準樽型である。
• ${\displaystyle X}$ 上のすべての有界下半連続半ノルムが連続である。
• 連続双対空間 ${\displaystyle X'}$ のすべての ${\displaystyle \beta (X',X)}$-有界部分集合が同程度連続である。

1. ^ ^{a b c} Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350

• Bourbaki, Nicolas (1950). “Sur certains espaces vectoriels topologiques” (French). Annales de l'Institut Fourier 2: 5–16 (1951). MR0042609. http://www.numdam.org/item?id=AIF_1950__2__5_0. 
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53. Cambridge University Press. pp. 65–75 
• Schaefer, Helmut H. (1971). Topological vector spaces. GTM. 3. New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 0-387-98726-6 
• S.M. Khaleelulla (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. GTM. 936. Springer-Verlag. pp. 28-46. ISBN 978-3-540-11565-6 

• barrel - PlanetMath.（英語）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Barrelled space”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Barrelled_space 

表 話 編 歴 関数解析学
集合 / 部分集合のタイプ	均衡 星状 絶対凸 凸 併呑 有界（英語版） 放射状（英語版） 対称（英語版） 線型錐（部分集合） 凸錐（部分集合）
線型位相空間のタイプ	バナッハ 樽型 界相 Brauner（英語版） F-空間 有限次元 フレシェ (tame) ヒルベルト LF空間 局所凸 マッキー（英語版） モンテル 核型 ノルム付き（ノルム） 準ノルム付き 回帰的 リース スミス（英語版） Stereotype（英語版） ウェブ付き 位相テンソル積（英語版）（ヒルベルト空間の（英語版））
位相	双対 双対空間 作用素 強（極 作用素） Ultrastrong（英語版） 弱（作用素） Ultraweak（英語版） 一様収束（英語版）
線型作用素	随伴 双線型（形式） 有界 / 非有界 閉（英語版） 連続 / 不連続 コンパクト フレドホルム ヒルベルト＝シュミット 汎関数（正（英語版）） 正規 核 自己共役 Strictly singular（英語版） トレースクラス 転置 ユニタリ
集合の操作	代数的内部（核） 内部 ミンコフスキー和（英語版） 極
バナッハ環	C*-環 スペクトル（C*-環（英語版） 半径) スペクトル理論
定理	Eberlein–Šmulian（英語版） 開写像 角谷の不動点 ゲルファント＝マズール コーシー＝シュワルツの不等式 Goldstine（英語版） シャウダーの不動点 パーセヴァルの等式 ハーン–バナッハ（分離超平面） バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語版） Banach–Mazur（英語版） フロイデンタールのスペクトル 閉値域 閉グラフ ベッセルの不等式 マッキー＝アレンス マズールの補題 リースの拡張 Lomonosov's invariant subspace（英語版） ニュートン＝カントロビッチ
解析	ボホナー空間 フレシェ空間における微分（英語版） 微分（フレシェ ガトー 汎函数 holomorphic（英語版）） 積分（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス 方正 弱) 汎函数計算（Borel（英語版） continuous（英語版） holomorphic（英語版）） 逆函数定理（Nash–Moser theorem（英語版）） ベクトル測度
応用	量子力学の数学的定式化 有限要素法 偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算
日本人研究者	加藤敏夫 吉田耕作 藤田宏 増田久弥
海外の研究者	リース・フリジェシュ ステファン・バナフ ダフィット・ヒルベルト イズライル・ゲルファント ピーター・ラックス
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