אזנבור נולד בפריז, צרפת, להורים מהגרים ארמנים, ניצולי רצח העם הארמני. אמו קנאר באגדאסריאן נמלטה מסמירנוף ואביו מישה אזנבוריאן שנולד באחלציחה שבגיאורגיה, נמלט אף הוא והיה הניצול היחיד במשפחתו. בני הזוג ביקשו להגר לארצות הברית, ולאחר שסורבו השתקעו בפריז. במהלך מלחמת העולם השנייה, הצילו הוריו כתריסר יהודים.[1]
מגיל צעיר הכיר את עולם התיאטרון בזכות הוריו האמנים. הוא התחיל להופיע בגיל 9. פריצתו הגדולה הייתה כאשר אדית פיאף שמעה אותו שר וארגנה לו סיבוב הופעות איתה בצרפת ובארצות הברית.
עם להיטיו הגדולים ניתן למנות את "Toi et Moi", "She", "Que C'est Triste Venise", "Yesterday When I Was Young", "לה בוהם" ועוד.
בשנות ה-70 זכה אזנבור להצלחה בממלכה המאוחדת בזכות שירו "She" שהגיע למקום הראשון במצעדים. בסך הכול מכר אזנבור למעלה מ-100 מיליון מתקליטיו ברחבי העולם, והופיע בכ-60 סרטים.
אזנבור היה אמור להגיע להופעה נוספת בישראל בחודש יוני 2019, במסגרת סיבוב הופעות עולמי שהיה אמור לחגוג את יום הולדתו ה-95,[6] אך ב-1 באוקטובר2018, הלך לעולמו והוא בן 94.
תרגומי שיריו לעברית
כמה משיריו תורגמו או קיבלו נוסח עברי. אחד הבולטים שבהם הוא "Au printemps tu reviendras", שתורגם על ידי אבי קורן בשם "באביב את תשובי חזרה" ובוצע על ידי צוות הווי הנח"ל עם הסולנים אופירה גלוסקא וליאור עמירן, ולאחר מכן על ידי להקת הנח"ל. כמו כן, שירו "She" תורגם על ידי אהוד מנור ובוצע על ידי מתי כספי באלבומו "את האשה שלי" בשנת 2005. בנוסף, השיר "Comme ils disent" (המספר במקור הצרפתי על הומו בארון שמופיע בלילות כמלכת דראג) בוצע כפינאלה במופע הדראג "פאות קדושות" בשם "מהו גבר בשבילכם", ולאחר מכן במיני-סדרה "תמיד אותו חלום". השיר בוצע גם בשם "מה תגידו", על ידי איתי טיראן בשנת 2002 בערב שנסונים "תחת שמי פריז" בבית הספר למשחק בית צבי. לשיר גרסה עברית נוספת בשם "כך הם קוראים לי" שבוצעה על ידי יוסי בנאי. בשנת 1978 יצא אבי טולדנו במופע "לה בוהם" משיריו של אזנבור בגרסאות עבריות שכתבו יוצרים שונים כגון דודו טופז, אהוד מנור, נעמי שמר, דן אלמגור ואחרים.
שירים מוכרים אחרים שהלחין ותורגמו לעברית כוללים את "כל הדרך חזרה" של הדודאים (במקור Sur Le Chemin Du Retour), "סימון" של חוה אלברשטיין (במקור Olga), "בוא עכשיו" של להקת פיקוד הצפון (במקור Ce n'est pas un adieu) ו"פחות עצוב בשמש" של תומר ישעיהו (במקור Emmenez moi) שחודש ב-2021.