פולינום אופייני

	ערך מחפש מקורות
	רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

באלגברה ליניארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם ${\displaystyle A}$ היא מטריצה ריבועית מסדר ${\displaystyle n}$, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\left|\lambda I-A\right|}$, כאשר ${\displaystyle I}$ היא מטריצת היחידה ו- ${\displaystyle |\cdot |}$ מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום מתוקן שמעלתו שווה למספר הרכיבים שבמטריצה (הסדר שלה שסומן ב-${\displaystyle n}$), ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+t_{n-1}\lambda ^{n-1}+t_{n-2}\lambda ^{n-2}+\dots +t_{0}}$, המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא ${\displaystyle t_{0}=(-1)^{n}|A|}$, ואילו ${\displaystyle t_{n-1}}$ שווה למינוס העקבה של ${\displaystyle A}$. בפרט הפולינום האופייני של מטריצה 2x2 הוא מהצורה ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} (A)\cdot \lambda +\det(A)}$. באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

השורשים של הפולינום האופייני הם הערכים העצמיים של ${\displaystyle A}$.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו ${\displaystyle A}$ מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר ${\displaystyle p_{A}(A)=A^{n}+t_{n-1}A^{n-1}+\dots +t_{0}I=0}$. לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).

• מטריצה
• פולינום
• פולינום מינימלי
• ערך עצמי
• דמיון מטריצות
• צורת ז'ורדן

• פולינום אופייני, באתר MathWorld (באנגלית)