מטריצת מעבר

באלגברה ליניארית, מטריצת מעבר בין בסיסים של אותו מרחב וקטורי מממד סופי, היא מטריצה ריבועית שהכפל בה מתרגם וקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הראשון לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס השני.

הגדרה:

יהיו B ו-C בסיסים סדורים למרחב הווקטורי V. מטריצת המעבר מ-B ל-C^[1]‏, ${\displaystyle \ M_{C}^{B}}$, היא המטריצה היחידה המקיימת את השוויון

${\displaystyle \ M_{C}^{B}[v]_{B}=[v]_{C}}$

לכל וקטור ${\displaystyle \ v\in V}$, כאשר ${\displaystyle \ [v]_{B},[v]_{C}}$ הם וקטורי הקואורדינטות לפי הבסיסים B,C, בהתאמה. מן ההגדרה הזו נובעות כמה זהויות שימושיות: ${\displaystyle \ M_{B}^{B}=I}$; לכל שלושה בסיסים ${\displaystyle \ B,C,D}$ מתקיים ${\displaystyle \ M_{D}^{C}M_{C}^{B}=M_{D}^{B}}$; ובפרט ${\displaystyle \ M_{B}^{C}=(M_{C}^{B})^{-1}}$.

מטריצת המעבר היא למעשה המטריצה המייצגת של העתקת הזהות ביחס לשני הבסיסים.

את מטריצת המעבר אפשר לבנות על ידי חישוב של וקטורי קואורדינטות: העמודה ה-i שלה היא וקטור הקואורדינטות של האיבר ה-i בבסיס B, לפי הבסיס C. כלומר:

${\displaystyle (M_{C}^{B})_{\downarrow i}=[b_{i}]_{C}}$

את מטריצת המעבר בין שני בסיסים B ו-C כלשהם ב-${\displaystyle F^{n}}$ נוח לחשב דרך הבסיס הסטנדרטי (e1, e2, ..., en). הקואורדינטות של וקטור ${\displaystyle b_{i}\in B}$ לפי E הם פשוט רכיבי ${\displaystyle b_{i}}$ מסודרים בעמודה. לכן זה מיידי לחשב את ${\displaystyle M_{E}^{B}=(...|[b_{i}]_{E}|...)}$. באותו אופן ${\displaystyle M_{E}^{C}=(...|[c_{i}]_{E}|...)}$ מתכונת ההפכיות מקבלים ש-${\displaystyle M_{C}^{E}=(M_{E}^{C})^{-1}}$ ולחישוב ההפכית יש אלגוריתם טכני וברור באמצעות דירוג מטריצות. לבסוף, מתכונת הכפליות מקבלים ${\displaystyle M_{C}^{B}=M_{C}^{E}M_{E}^{B}=(M_{E}^{C})^{-1}\cdot M_{E}^{B}}$. את כל המטריצות בביטוי זה קל לחשב באמצעות פעולות טכניות ופשוטות.

הגדרה וסימון מקובלים למטריצת המעבר הם כדלהלן: מטריצת המעבר מבסיס B לבסיס C תסומן ${\displaystyle [I]_{C}^{B}}$ והיא המטריצה ההפיכה היחידה שמקיימת:

${\displaystyle \forall {\vec {v}}\in V:\qquad [{\vec {v}}]_{C}=[I]_{C}^{B}[{\vec {v}}]_{B}}$

וניתן לחשבה באופן הבא: עמודות המטריצה הן וקטורי הקואורדינטות של וקטורי הבסיס B לפי הבסיס C. בפרט:

${\displaystyle [I]_{C}^{B}=\left[[{\vec {b}}_{1}]_{C}\ |\ \cdots \ |\ [{\vec {b}}_{n}]_{C}\right]}$

בפרט היא מקיימת: קיום הזהות ${\displaystyle [I]_{B}^{B}=I_{n}}$, כפליות: ${\displaystyle [I]_{D}^{B}=[I]_{D}^{C}[I]_{C}^{B}}$ והפיכות ${\displaystyle [I]_{B}^{C}=([I]_{C}^{B})^{-1}}$.

כל מטריצת מעבר היא מטריצה הפיכה, ולהפך: כל מטריצה הפיכה היא מטריצת מעבר מהבסיס B לבסיס כלשהו, ומבסיס כלשהו לבסיס C. במילים אחרות, חבורת המטריצות ההפיכות פועלת באופן טרנזיטיבי על אוסף הבסיסים של המרחב.

כשמוגדרת על המרחב מכפלה פנימית, מטריצת המעבר בין שני בסיסים אורתונורמליים היא מטריצה אורתוגונלית, ולהפך: אם B,C בסיסים אורתונורמליים נתונים, אז כל מטריצה אורתוגונלית היא מטריצת מעבר מ-B לבסיס אורתונורמלי כלשהו, ומבסיס אורתונורמלי כלשהו אל C. כמקודם, חבורת המטריצות האורתוגונליות פועלת באופן טרנזיטיבי על אוסף הבסיסים האורתונורמליים של המרחב.

אפיסטמולוגית, האבחנה בין וקטורים מופשטים ב-${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ לבין הייצוגים שלהם כווקטורי קואורדינטות בבסיס כלשהו שבחרנו היא דוגמה חשובה לאבחנה מסוג אפריורי/אפוסטריורי - בעוד וקטורים מופשטים הם יצירי מחשבה אלגבריים הקודמים לניסיון, וקטורי קואורדינטות מתייחסים לתיאור הגאומטרי, שאופיו מותנה בניסיון. למשל, בעוד קיומם של כוכבי השבת קודם לניסיון, הדימוי הגאומטרי "הטבעי" שלהם נתפס דרך התיווך הראשוני של מערכת הקואורדינטות השמימית (כלומר דרך מבט על כיפת השמיים), שמשתנה לפי המיקום ולפי הזמן (עקב סיבוב כדור הארץ סביב צירו).

מדיה וקבצים בנושא מטריצת מעבר בוויקישיתוף

• מטריצת מעבר, באתר MathWorld (באנגלית)