ממד (אלגברה ליניארית)

	ערך מחפש מקורות
	רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

באלגברה ליניארית, הממד של מרחב וקטורי הוא מספר האיברים בבסיס של המרחב. כלומר, הממד שווה למספר הפרמטרים החופשיים הנחוצים לתאר כל וקטור במרחב.

יהי ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי מעל שדה ${\displaystyle F}$עם בסיס ${\displaystyle v}$ בגודל ${\displaystyle n}$. המספר ${\displaystyle n}$ נקרא הממד של ${\displaystyle V}$ ומסומן: ${\displaystyle \dim(V)}$.

כשרוצים לציין את התלות בשדה הבסיס מסמנים ${\displaystyle \ \dim _{F}(V)}$, ולפעמים גם ${\displaystyle \ [V\!:\!F]}$.

המימד מכליל את המספרים המוכרים אינטואיטיבית מן המרחבים האוקלידיים הראשונים: הקו הישר הוא חד-ממדי, המישור דו-ממדי, והמרחב המוגדר לפי אורך, רוחב וגובה הוא תלת-ממדי. כעוצמה של קבוצה, המימד הוא מספר טבעי (לרבות אפס), או עוצמה אינסופית. למימד מהאלגברה הליניארית יש הכללות לתחומים נוספים במתמטיקה.

כאשר המרחב הווקטורי נפרש על ידי קבוצה סופית של איברים, המימד שלו מעל שדה נתון, מאפיין אותו באופן מלא:

• כל שני מרחבים וקטוריים בעלי אותו מימד סופי מעל אותו שדה הם איזומורפיים זה לזה.
• המרחב היחיד ממימד 0 הוא מרחב האפס, הכולל את וקטור האפס בלבד.
• אם ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי ממימד סופי ו-${\displaystyle U}$ תת-מרחב של ${\displaystyle V}$ ומתקיים ${\displaystyle \dim(V)=\dim(U)}$ אז ${\displaystyle V=U}$. כלומר, תת־מרחב מאותו מימד של המרחב המקורי, שווה למימד המקורי.
• המימד של סכום ישר של מרחבים הוא סכום הממדים.
• המימד של המכפלה הטנזורית שווה למכפלת הממדים.
• המימד של מרחב ההעתקות הליניאריות ${\displaystyle \operatorname {Hom} (U,V)}$ שווה למכפלת הממדים של המרחבים המעורבים.
• המימד של מרחב הווקטורים ${\displaystyle F^{n}}$ שווה ל-${\displaystyle n}$, והמימד של אלגברת המטריצות ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(F)}$ הוא ${\displaystyle \ n^{2}}$.

משפט הממדים קושר את המימד של סכום וחיתוך תת-מרחבים: אם ${\displaystyle \ U,U'\subseteq V}$, אז ${\displaystyle \dim(U+U')=\dim(U)+\dim(U')-\dim(U\cap U')}$. זאת בהתאם לעיקרון ההכלה וההדחה.

אם ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי מעל שדה ${\displaystyle K}$ שיש לו תת-שדה ${\displaystyle F}$, אז ${\displaystyle K}$ מרחב וקטורי מעל ${\displaystyle F}$, והממדים מקיימים ${\displaystyle \dim _{F}(V)=[K\!:\!F]\dim _{K}(V)}$. בפרט, אם ${\displaystyle \ F\subseteq K\subseteq L}$ שדות, אז ${\displaystyle \ [L\!:\!F]=[L\!:\!K]\cdot [K\!:\!F]}$. עובדה בסיסית זו מאפשרת להסיק מספר תשובות לבעיות מפורסמות של ימי קדם, למשל: אי אפשר לקבל מספרים מסוימים על ידי פעולות של הוצאת שורש ריבועי, וזו הסיבה לכך שלא ניתן לבנות את השורש השלישי של 2, את הזווית בת 20 מעלות, או את השורש השביעי של היחידה.

מדיה וקבצים בנושא ממד בוויקישיתוף

• ד"ר עליזה מלק – הגדרה של בסיס ומימד, סרטון בערוץ "ב"הטכניון מלמדים"", באתר יוטיוב (אורך: 17:04)