תבנית (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית תבנית היא פונקציה שמקבלת מספר משתנים וקטוריים ומחזירה סקלר. בדרך כלל התבניות הן ליניאריות על פי כל אחד מהמשתנים בנפרד.

ערך מורחב – מרחב דואלי

המקרה הפשוט ביותר של תבניות הוא 1-תבניות. 1-תבניות על מרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ היא פונקציונל ליניארי על ${\displaystyle V}$. במילים אחרות - העתקה ליניארית מ- ${\displaystyle V}$ לשדה. אוסף כל ה-1-תבניות על ${\displaystyle V}$ הוא המרחב הדואלי ${\displaystyle V^{*}}$.

ערך מורחב – תבנית ביליניארית

תבנית ביליניארית על מרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ היא העתקה ${\displaystyle b:V\times V\to F}$ ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב- ${\displaystyle V}$. במילים אחרות היא מקיימת:

• ${\displaystyle \langle au+bv,w\rangle =a\langle u,w\rangle +b\langle v,w\rangle }$
• ${\displaystyle \langle w,au+bv\rangle =a\langle w,u\rangle +b\langle w,v\rangle }$

תבנית ביליניארית נקראת לא מנוונת (מימין) אם לכל ${\displaystyle v\neq 0}$ קיים ${\displaystyle w\in V}$ כך ש: ${\displaystyle \langle w,v\rangle \neq 0}$. באופן דומה מגדירים תבנית לא מנוונת משמאל. כאשר ${\displaystyle V}$ מממד סופי שני המושגים האלה שקולים. חקר התבניות הבי-ליניאריות מתחלק בדרך כלל לשניים:

• תבניות סימטריות - תבנית המקיימת ${\displaystyle \langle v,w\rangle =\langle w,v\rangle }$
• תבניות אנטי-סימטריות - תבנית המקיימת ${\displaystyle \langle v,w\rangle =-\langle w,v\rangle }$

במאפיין שונה מ-2 כל תבנית ניתן לכתוב באופן יחיד כסכום של תבנית סימטרית ואנטי-סימטרית.

אוסף התבניות הבי-ליניאריות על מרחב נתון הוא מרחב ליניארי. אוספי התבניות הסימטריות והאנטי-סימטריות מהווים תתי-מרחבים שלו.

תבנית עם מספר רב יותר של משתנים שהן ליניאריות על-ידי כל אחד מהם בנפרד נקראת תבנית פולי-ליניארית.

אוסף התבנית הפולי-ליניאריות על מרחב נתון במספר נתון של משתנים הוא מרחב ליניארי.

מקרה פרטי מעניין של תבניות פולי-ליניאריות הוא תבניות אנטי-סימטריות. תבנית פולי-ליניארית נקראת אנטי-סימטרית אם כשמחליפים שניים ממשתניה במקומותיהם ערכה מחליף את סימנו. גרסה של תבניות אלה שמשתנה כתלות בפרמטר חשובה במיחד בגאומטריה דיפרנציאלית לצורך אינטגרציה. גרסה זו נקראת תבנית דיפרנציאלית.

מספר המשתנים בתבנית פולי-ליניארית אנטי-סימטרית לא טריוויאלית לא עולה על ממד המרחב. אוסף התבנית הפולי-ליניאריות אנטי-סימטריות על מרחב נתון, במספר נתון של משתנים הוא מרחב ליניארי.

מקרה פרטי מעניין של תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סימטריות הוא כשמספר המשתנים שווה לממד המרחב. תבניות אלה נקראות תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סימטריות עליונות. ממד מרחב התבניות הפולי-ליניאריות אנטי-סימטריות עליונות הוא 1. מרחב זה שימושי לצורך הגדרת הדטרמיננטה.

בהינתן תבנית בי-ליניארית ${\displaystyle f:V\times V\to F}$ ניתן להגדיר פונקציה ${\displaystyle q:V\to F}$ על-ידי $${\displaystyle q(x)=f(x,x).}$$ פונקציות שמתקבלו בצורה זאת נקראות תבנית ריבועיות. במציין שונה מ-2 יש התאמה חד-חד ערכית ועל בין תבניות ריבועיות ותבניות בי-ליניאריות סימטריות.

אוסף התבנית הריבועיות על מרחב נתון הוא מרחב ליניארי.

באופן דומה ניתן להגדיר תבנית ממעלה ${\displaystyle k}$ בתור פונקציות מהצורה ${\displaystyle g(x)=f(x,\dots ,x)}$ כאשת ${\displaystyle f}$ היא תבנית ${\displaystyle k}$-ליניארית. (כלומר תבנית פולי-ליניארית ב- ${\displaystyle k}$ משתנים). מנקודת מבט אלגברית, תבנית ממעלה ${\displaystyle k}$ היא פולינום הומגני ממעלה ${\displaystyle k}$.

ערכים מורחבים – תבנית ליניארית למחצה, תבנית ססקיו ליניארית, תבנית הרמיטית

לעיתים מתעניינים בתבניות שאינן בדיוק ליניאריות אלא בעלות תכונה מעט שונה. תכונה זאת מעניינת במיוחד כאשר שדה הבסיס שלנו הוא ${\displaystyle \mathbb {C} }$. במקרה זה העתקה ${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$ כאשר ${\displaystyle V}$ הוא מרחב וקטורי מעל ${\displaystyle \mathbb {C} }$ נקראת ליניארית למחצה (לעיתים גם אנטי ליניארית) אם היא מקיימת:

• ${\displaystyle f(v+w)=f(v)+f(w)}$
• ${\displaystyle f(av)={\bar {a}}f(v)}$

לעיתים מתעניינים בתבניות שהן ליניאריות רק בחלק מהמשתנים וליניאריות למחצה ביתר המשתנים. מקרה פרטי חשוב הוא תבנית בשני משתנים, ליניארית על-פי הראשון וליניארית למחצה על-פי השני. תבניות כאלה נקראות ססקיו ליניאריות (Sesqui בלטינית זה אחד וחצי). תבניות ססקיו ליניאריות לא יכולות להיות סימטריות, אולם הן יכולות להיות סימטריות למחצה. זאת אומרת הן מקיימות: $${\displaystyle f(x,y)={\overline {f(y,x)}}}$$

תבניות ססקיו ליניאריות סימטריות למחצה נקראות תבניות הרמיטיות. התורה של תבניות הרמיטיות דומה למדי לתורה של תבניות ביליניאריות סימטריות.

אוסף התבניות הססקיו על מרחב ליניארי מעל ${\displaystyle \mathbb {C} }$ הוא מרחב ליניארי מעל ${\displaystyle \mathbb {R} }$ אך לא מעל ${\displaystyle \mathbb {C} }$. אוסף התבנית ההרמיטיות הוא תת-מרחב של מרחב זה.

ניתן להגדיר תבניות ססקיו ליניאריות ותבניות הרמיטיות גם מעל שדות אחרים. לשם כך יש לקבוע אוטומורפיזם ${\displaystyle \theta }$ של השדה מסדר 2. אוטומורפיזם זה מחליף את התפקיד של ההצמדה המרוכבת בהגדרות מעלה. בהתאם אוספי התבניות הססקיו ליניאריות והתבניות ההרמיטיות אינם מרחבים ליניאריים מעל שדה הבסיס ${\displaystyle F}$ אלא מרחבים ליניאריים מעל תת-השדה של נקודות השבת של ${\displaystyle \theta }$.

ערכים מורחבים – טנזור ומכפלה טנזורית

במקרה של מרחבים ממד סופי, ניתן להגדיר את מושג הטנזור והמכפלה הטנזורית באמצעות תבניות.

• מכפלה טנזורית
• תבנית ביליניארית
• תבנית ריבועית
• תבנית פולי-ליניארית
• תבנית דיפרנציאלית