גרעין (באנגלית: Kernel) של הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא אוסף האיברים שההומומורפיזם מעביר אל האיבר הנייטרלי (לדוגמה: איבר האפס של מרחב וקטורי, איבר האפס של חוג, האיבר הנייטרלי של חבורה). הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של משפט האיזומורפיזם הראשון, על-פי סוג המבנה שבו מדובר. נהוג לסמן את הגרעין של העתקה ב- או (לעיתים משמיטים את הסוגריים ורושמים ).
דוגמאות
- אם הומומורפיזם של מרחבים וקטוריים, הגרעין שלו הוא תת-מרחב של , שממדו .
- אם הומומורפיזם של חבורות, הגרעין הוא תת-חבורה נורמלית, וחבורת המנה איזומורפית לתמונה .
- אם הומומורפיזם של חוגים, הגרעין הוא אידיאל דו-צדדי, וחוג המנה איזומורפי לתמונה .
- אם הומומורפיזם של מודולים מעל חוג R, הגרעין הוא תת-מודול של , ומודול המנה איזומורפי לתמונה .
- ניתן להגדיר גרעין גם עבור קבוצה מנוקדת (pointed set). אם פונקציה בין קבוצות עם נקודות אז .
ההכללה המשותפת למקרים אלה נתונה בתורת הקטגוריות על ידי מושג הגרעין הקטגורי.
ראו גם
קישורים חיצוניים