연립 일차 방정식

수학에서 연립 일차 방정식(聯立一次方程式, 영어: system of linear equations) 또는 선형 방정식계(線形方程式系)는 여러 개의 일차 방정식으로 이루어진 연립 방정식이다.^[1] 모든 일차 방정식을 만족시키는 변수값 튜플을 해로 한다. 기하학적 관점에서, 실수 계수 연립 일차 방정식의 해는 초평면들의 교점과 같다. 연립 일차 방정식은 계수 행렬과 첨가 행렬을 사용하여 나타낼 수 있다. 연립 일차 방정식의 기본적인 해법은 가우스 소거법이다. 연립 일차 방정식은 선형대수학의 중요한 연구 대상이며, 많은 실제 문제의 모형이다.^[1]

${\displaystyle m}$개의 방정식으로 이루어진 ${\displaystyle n}$원 연립 일차 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}}$

${\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}}$

${\displaystyle a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+\cdots +a_{3n}x_{n}=b_{3}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}}$

행렬 곱셈의 정의에 의하여, 이는 다음과 동치이다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}$

여기에 쓰인 세 행렬을 왼쪽부터 차례대로 ${\displaystyle A_{m\times n}}$, ${\displaystyle x_{n\times 1}}$, ${\displaystyle b_{m\times 1}}$라고 하면, 연립 일차 방정식은 다음과 같이 단순하게 쓸 수 있다.

${\displaystyle Ax=b}$

이 경우, ${\displaystyle A}$를 이 연립 일차 방정식의 계수 행렬, ${\displaystyle x}$를 해 벡터(解-, 영어: solution vector), ${\displaystyle b}$를 소스 벡터(영어: source vector)라고 한다.^[2] 또한, 계수 행렬 옆에 소스 벡터를 덧붙인 행렬 ${\displaystyle (A|b)}$를 첨가 행렬이라고 한다.

연립 일차 방정식 ${\displaystyle Ax=b}$가 ${\displaystyle b=0}$을 만족시키면, 동차 연립 일차 방정식(同次聯立一次方程式, 영어: homogeneous system of linear equations)이라고 하며, 반대로 ${\displaystyle b\neq 0}$을 만족시키면, 비동차 연립 일차 방정식(非同次聯立一次方程式, 영어: non-homogeneous system of linear equations)이라고 한다.

계수를 체 ${\displaystyle K}$에서 취하는 연립 일차 방정식 ${\displaystyle Ax=b}$의 해의 집합은 공집합이거나, ${\displaystyle K}$-벡터 공간의 잉여류 ${\displaystyle x_{0}+\ker A\subset K^{n}}$를 이룬다. (여기서 ${\displaystyle x_{0}}$은 임의의 고정된 해이며, ${\displaystyle \ker }$는 핵이다.) 특히, 동차 연립 일차 방정식의 해들은 ${\displaystyle K}$-벡터 공간 ${\displaystyle \ker A\subset K^{n}}$을 이룬다.

구체적으로, 연립 일차 방정식 ${\displaystyle Ax=b}$의 해는 존재하지 않을 수도, 유일할 수도, 수많을 수도 있는데, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle Ax=b}$의 해는 존재한다.
• ${\displaystyle b\in \operatorname {im} A}$ (여기서 ${\displaystyle \operatorname {im} }$는 상이다.)
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} (A|b)}$ (여기서 ${\displaystyle \operatorname {rank} }$는 계수이다.)

또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle Ax=b}$의 해는 유일하다.
• ${\displaystyle A}$는 가역 행렬이다.

특히, 동차 연립 일차 방정식은 영벡터를 자명한 해로 가지며, 해가 영벡터뿐일 필요충분조건은 계수 행렬이 (정사각) 가역 행렬인 것이다. 보다 구체적으로, 해공간의 차원은 다음과 같으며, 이를 계수-퇴화차수 정리라고 한다.

${\displaystyle \dim \ker A=n-\operatorname {rank} A}$

 이 부분의 본문은 가우스 소거법입니다.

가우스 소거법은 가감법을 사용하여 연립 일차 방정식을 푸는 방법이다. 기본 행 연산 ${\displaystyle P}$를 통해 첨가 행렬

${\displaystyle (A|b)}$

을 계수 행렬이 기약 행 사다리꼴 행렬인 새로운 첨가 행렬

${\displaystyle (PA|Pb)}$

로 변환시키면 된다.

 이 부분의 본문은 크라메르 법칙입니다.

크라메르 법칙은 방정식의 개수와 미지수의 개수가 같고, 계수 행렬이 가역 행렬일 경우에 유일한 해를 구하는 공식이다. 이 유일한 해는 다음과 같다.

${\displaystyle x=A^{-1}b}$

크라메르 법칙은 이를 다음과 같이 풀어쓴다.

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det A_{i}}{\det A}}\qquad i=1,\dots ,n}$

여기서 ${\displaystyle A_{i}}$는 ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle i}$째 열을 ${\displaystyle b}$로 대신하여 얻는 행렬이며, ${\displaystyle \det }$는 행렬식이다.

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• Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8. 

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Linear system of equations”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Definition:Homogeneous linear equations”. 《ProofWiki》 (영어).