실수를 수직선으로 나타낸 것 수학 에서 실수 (實數, 영어 : real number )는 주로 실직선 위의 점 또는 십진법 전개로 표현되는 수 체계이다. 예를 들어, -1, 0, 1 / 2 √2 e π 등은 모두 실수이다. 즉 좌표축을 꽉 채울 수 있는 수의 집합이라고도 할 수 있다.
실수에 대하여 사칙 연산 (덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 · 나눗셈 )을 실행할 수 있다. 실수는 크기비교가 가능하며, 실직선에서 더 왼쪽에 있는 수가 더 오른쪽에 있는 수보다 작다. 특히, 실수는 0보다 큰 양수 · 0보다 작은 음수 · 0으로 분류된다. 또한, 실수는 정수 의 비 인 유리수 와 그렇지 않은 무리수 로도 분류되며, 정수 계수 다항식의 근 인 대수적 수 와 그렇지 않은 초월수 로도 분류된다. 실직선은 복소 평면 의 일부로 볼 수 있으며, 이 경우 실수는 허수 와 함께 복소수 를 이룬다.
공리적으로, 실수는 완비 순서체 로 정의되고, 이는 동형 의미 아래 유일하다. 구성적으로, 실수는 유리수 코시 수열 의 동치류 · 데데킨트 절단 · 십진법 전개의 동치류로서 구성된다. 실수의 완비성 은 공집합이 아닌 실수 유계 집합 이 항상 상한과 하한 을 갖는다는 성질이다. 이는 유리수 와 구별되는 중요한 성질이다.
실수 집합은 비가산 집합 이다. 즉, 자연수 집합과 실수 집합은 둘다 무한 집합 이나, 그 사이에 일대일 대응 이 존재하지 않는다. 실수 집합의 크기 는 자연수 집합의 크기보다 크다. 연속체 가설 은 자연수 집합보다 크며 실수 집합보다 작은 크기를 갖는 실수 부분 집합 이 존재하지 않는다는 명제이다. 연속체 가설은 ZFC(즉, 선택 공리 를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 )에서 증명할 수도, 반증할 수도 없으며, 연속체 가설을 만족하거나, 그 부정을 만족하는 ZFC의 모형 이 모두 존재한다.
실수 체계
(
R
,
+
,
⋅
,
<
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,<)}
공리계 를 통해 정의하거나, 구체적인 모형 을 구성하여 정의할 수 있다.
실수는 다음과 같은 공리를 만족하는 수 체계이다.
체 를 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈이라고 불리는 두 이항 연산 을 갖추며, 이들은 익숙한 규칙대로 작용한다.순서체 를 이룬다. 즉, 전순서 를 갖추며, 이는 덧셈 및 곱셈과 호환된다.완비적 이다. 즉, 공집합이 아닌 실수 부분 집합이 상계 를 갖는다면, 항상 상한 을 갖는다.마지막 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는 동형 의미 하에 유일하다.
실수는 다음과 같은 대상으로서 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 실수는 실수 공리계의 모형 을 이룬다. 즉, 실수 공리계의 모든 공리들을 만족한다.
실수 집합 위에는 덧셈 +, 뺄셈 -, 곱셈 ×, 나눗셈 ÷이 정의되어 있으며, 이들 중 덧셈과 곱셈은 교환 법칙 , 결합 법칙 , 분배 법칙 을 만족한다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
a
×
b
=
b
×
a
{\displaystyle a\times b=b\times a}
(
a
×
b
)
×
c
=
a
×
(
b
×
c
)
{\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}
a
×
(
b
+
c
)
=
a
×
b
+
a
×
c
{\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}
실수 0과 1은 사칙 연산에서 특별한 역할을 맡는다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
0
+
a
=
a
{\displaystyle 0+a=a}
1
×
a
=
a
{\displaystyle 1\times a=a}
0
×
a
=
0
{\displaystyle 0\times a=0}
실수
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
반수
−
x
{\displaystyle -x}
x
+
(
−
x
)
=
0
{\displaystyle x+(-x)=0}
0이 아닌 실수
x
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}
역수
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
x
×
1
x
=
1
{\displaystyle x\times {\frac {1}{x}}=1}
뺄셈과 나눗셈은 다음과 같이 덧셈과 곱셈으로 귀결된다.
a
−
b
=
a
+
(
−
b
)
{\displaystyle a-b=a+(-b)}
a
b
=
a
×
1
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}
양수(=실직선에서 0의 우측의 실수=0보다 큰 수) 밑, 실수 지수의 거듭제곱을 정의할 수 있다. 실수에 대하여 거듭제곱을 정의할 수 있는 건 실수의 완비성이 있기 때문이다. 대략의 정의는 다음과 같다.
a
n
=
a
a
⋯
a
⏞
n
(
a
>
0
,
n
∈
Z
+
)
{\displaystyle a^{n}=\overbrace {aa\cdots a} ^{n}\qquad (a>0,\;n\in \mathbb {Z} ^{+})}
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
a
−
n
=
1
a
n
=
1
a
a
⋯
a
⏟
n
(
a
>
0
,
n
∈
Z
+
)
{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{\underbrace {aa\cdots a} _{n}}}\qquad (a>0,\;n\in \mathbb {Z} ^{+})}
a
m
n
=
sup
{
x
∈
R
:
x
n
<
a
m
}
(
a
>
0
,
m
,
n
∈
Z
,
n
>
0
,
gcd
{
m
,
n
}
=
1
)
{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=\sup\{x\in \mathbb {R} \colon x^{n}<a^{m}\}\qquad (a>0,\;m,n\in \mathbb {Z} ,\;n>0,\;\gcd\{m,n\}=1)}
a
r
=
sup
{
a
q
:
q
∈
Q
,
q
<
r
}
(
a
>
0
,
r
∈
R
)
{\displaystyle a^{r}=\sup\{a^{q}\colon q\in \mathbb {Q} ,\;q<r\}\qquad (a>0,\;r\in \mathbb {R} )}
음수(=실직선에서 0의 좌측의 실수=0보다 작은 수) 밑의 거듭제곱 역시 정의할 수 있는데, 이는 유리수 지수에 한하며, 또한 이렇게 확장된 거듭제곱은 위의 연산 법칙을 비롯한 좋은 성질들을 만족시키지 못한다.
부등식 문서를 참고하십시오.
실수들 사이에는 순서(즉, 크기 비교)가 존재한다. 두 실수
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
a
<
b
{\displaystyle a<b}
실직선 위에서
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
a
≮
a
{\displaystyle a\nless a}
a
<
b
⟹
b
≮
a
{\displaystyle a<b\implies b\nless a}
a
<
b
<
c
⟹
a
<
c
{\displaystyle a<b<c\implies a<c}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
a
>
b
{\displaystyle a>b}
또한, 실수의 순서는 실수의 연산과 호환된다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
a
<
b
⟹
a
+
c
<
b
+
c
{\displaystyle a<b\implies a+c<b+c}
a
<
b
,
c
>
0
⟹
a
c
<
b
c
{\displaystyle a<b,\;c>0\implies ac<bc}
a
<
b
,
c
<
0
⟹
a
c
>
b
c
{\displaystyle a<b,\;c<0\implies ac>bc}
0
<
a
<
b
,
n
>
0
⟹
a
n
<
b
n
{\displaystyle 0<a<b,\;n>0\implies a^{n}<b^{n}}
0
<
a
<
b
,
n
<
0
⟹
a
n
>
b
n
{\displaystyle 0<a<b,\;n<0\implies a^{n}>b^{n}}
양수 (영어 : positive number )는 0보다 큰 실수를 뜻하며, 음수 영어 : negative number )는 0보다 작은 실수를 뜻한다. 위의 성질들에 따라, 모든 실수는 양수, 음수와 0 가운데 하나에 속한다. 또한, 양수 곱하기 양수는 항상 양수이며, 양수 곱하기 음수는 항상 음수이며, 음수 곱하기 음수는 항상 양수이다. 특히, 임의의 실수의 제곱은 항상 음수가 아닌 실수이다.(제곱 해서 음수 가 되는 수는 허수 라고 불리고, 수직선 상에 표시할 수 없다.)
이 부분의 본문은
구간 입니다.
구간 은 특별한 실수 부분 집합 으로서, 주어진 두 실수 사이의 실수를 원소로 갖거나, 주어진 한 실수를 시작점으로 하는 반직선에 놓인 실수를 원소로 갖는다. 예를 들어, 임의의
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
x
∈
(
3
,
5
)
⟺
3
<
x
<
5
{\displaystyle x\in (3,5)\iff 3<x<5}
x
∈
[
−
2
,
10
]
⟺
−
2
≤
x
≤
10
{\displaystyle x\in [-2,10]\iff -2\leq x\leq 10}
x
∈
(
6
,
+
∞
)
⟺
6
<
x
{\displaystyle x\in (6,+\infty )\iff 6<x}
퇴화 구간은 구간과 비슷한 집합으로서, 두 끝점의 순서가 정상적인 구간의 반대이다. 예를 들어, 다음과 같다.
x
∈
[
3
,
3
]
⟺
3
≤
x
≤
3
⟺
x
=
3
{\displaystyle x\in [3,3]\iff 3\leq x\leq 3\iff x=3}
x
∈
(
9
,
5
)
⟺
9
<
x
<
5
⟺
x
∈
∅
{\displaystyle x\in (9,5)\iff 9<x<5\iff x\in \varnothing }
수들의 집합(예를 들어, 유리수 집합이나 실수 집합)의 모든 수들보다 작지 않은 수를 그 집합의 상계 라고 한다. 이는 보통 존재하지 않거나, 존재한다면 여럿이 같이 존재한다. 수들의 집합에 상계들이 존재하며, 이들 가운데 가장 작은 하나가 존재한다면, 이를 상한 이라고 한다. 실수 집합
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
공집합이 아닌 실수 부분 집합
∅
≠
S
⊆
R
{\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \mathbb {R} }
이를 상한 공리이라고 한다. 상한 공리는 실수의 완비성에 대한 한 가지 표현이다.
실수의 완비성은 실수의 가장 중요한 성질의 하나이다. 데데킨트 절단 (영어 : Dedekind cut )을 통해 서술하는 것이 가장 간단하다. 실수 집합
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
D
,
E
⊆
R
{\displaystyle D,E\subseteq \mathbb {R} }
(
D
,
E
)
{\displaystyle (D,E)}
(
D
,
E
)
{\displaystyle (D,E)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
데데킨트 절단 이라고 한다.
D
,
E
≠
∅
{\displaystyle D,E\neq \varnothing }
D
∪
E
=
R
{\displaystyle D\cup E=\mathbb {R} }
임의의
d
∈
D
{\displaystyle d\in D}
e
∈
E
{\displaystyle e\in E}
d
<
e
{\displaystyle d<e}
D
{\displaystyle D}
최소 원소 를 가지지 않는다.이제, 실수의 데데킨트 완비성 공리 를 다음과 같이 서술할 수 있다.
실수 집합
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(
D
,
E
)
{\displaystyle (D,E)}
E
{\displaystyle E}
데데킨트 완비성 공리는 상한 공리와 서로 동치이다.
증명 (상한 공리 ⇒ 데데킨트 완비성 공리):
증명 (데데킨트 완비성 공리 ⇒ 상한 공리):
실수 집합은 아르키메데스 성질 을 만족한다. 즉, 두 실수
x
,
y
>
0
{\displaystyle x,y>0}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
n
{\displaystyle n}
y
{\displaystyle y}
x
+
x
+
⋯
+
x
⏟
n
>
y
{\displaystyle \underbrace {x+x+\cdots +x} _{n}>y}
실수 집합 위의 순서는 조밀 순서 이다. 즉, 임의의 서로 다른 두 실수
x
<
y
{\displaystyle x<y}
x
<
z
<
y
{\displaystyle x<z<y}
실수 집합 위에는 표준적인 위상 공간 · 거리 공간 · 노름 공간 · 내적 공간 구조를 부여할 수 있다. 즉,
주어진 두 실수
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
x
y
{\displaystyle xy}
주어진 실수
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
절댓값
|
x
|
=
x
2
{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}
주어진 두 실수
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
|
x
−
y
|
{\displaystyle |x-y|}
실수 집합 위의 표준적인 위상은 거리 위상 이자 순서 위상 이다. 실수 부분 집합
S
⊆
R
{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }
동치 이다.
사실, 모든 유클리드 공간 에 대하여, 위 네 조건은 서로 동치이며, 모든 거리 공간 에 대하여, 앞에 세 조건은 서로 동치이다.
또한,
S
⊆
R
{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }
동치 이다.
연결 공간 이다.경로 연결 공간 이다.호 연결 공간 이다.중간값 성질을 만족한다. 즉, 임의의
a
,
b
∈
S
{\displaystyle a,b\in S}
(
a
,
b
)
⊆
S
{\displaystyle (a,b)\subseteq S}
(퇴화 또는 비퇴화) 구간 이다.
실수는 유리수 와 무리수 로 분류된다. 실수
q
∈
R
{\displaystyle q\in \mathbb {R} }
x
{\displaystyle x}
x
=
m
n
{\displaystyle x={\frac {m}{n}}}
m
∈
Z
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
n
∈
Z
∖
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}
x
{\displaystyle x}
유한 소수 이거나, 무한 순환 소수 이다. 즉, 다음을 만족시키는
p
,
q
,
r
∈
{
0
,
1
,
…
}
{\displaystyle p,q,r\in \{0,1,\dots \}}
a
i
,
b
i
,
c
i
∈
{
0
,
1
,
…
,
9
}
{\displaystyle a_{i},b_{i},c_{i}\in \{0,1,\dotsc ,9\}}
x
=
a
p
a
p
−
1
⋯
a
0
.
b
1
b
2
⋯
b
q
c
˙
1
c
2
⋯
c
˙
r
{\displaystyle x=a_{p}a_{p-1}\cdots a_{0}.b_{1}b_{2}\cdots b_{q}{\dot {c}}_{1}c_{2}\cdots {\dot {c}}_{r}}
x
{\displaystyle x}
유한 연분수 이다. 즉, 다음을 만족시키는
a
i
∈
Z
{\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }
n
∈
{
0
,
1
,
…
}
{\displaystyle n\in \{0,1,\dots \}}
x
=
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\dotsc ,a_{n}]}
예를 들어, 1/3 = 0.333...은 유리수이며, e = 2.7182...π = 3.1415... 는 무리수이다.
실수 집합의 크기 는 다음과 같다.
|
R
|
=
2
ℵ
0
{\displaystyle |\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}}
여기서
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
알레프 0 이다. 달리 말해, 실수는 자연수 부분 집합과 일대일 대응한다. 이 둘 사이의 일대일 대응은 여러 가지 만들 수 있다.
실수에 대한 엄밀한 정의는 게오르크 칸토어 에 의해 이루어졌다. 유리수로부터 실수를 이론적으로 확장하여 그 성질을 규정짓게 된 것은 카를 바이어슈트라스 , 게오르크 칸토어 , 리하르트 데데킨트 와 같은 수학자들의 공이 지대하였다.
복소수 자연수의 분류 유리수의 분류 실수의 분류 복소수의 분류 기타
다른 뜻에 대해서는 실수 (동음이의) 문서를 참고하십시오.
이 부분의 본문은 실수의 구성입니다.
![{\displaystyle x\in [-2,10]\iff -2\leq x\leq 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b1fcb67b840cabdef1a70080397547fa001d80)
![{\displaystyle x\in [3,3]\iff 3\leq x\leq 3\iff x=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601ee28e7b59e93411dd28cb6730c5d17a6ea489)
![{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\dotsc ,a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f39f2dbd632ea2fb369c56e695bb3ef6240d0b0)
