完全数 （かんぜんすう、英 : perfect number ）とは、自分自身が自分自身を除く正の約数 の和に等しくなる自然数 のことである。完全数の最初の4個は 6 (= 1 + 2 + 3)28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248)8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064)
「完全数」は「万物は数なり」と考えたピタゴラス が名付けた数の一つであることに由来する[ 1] [ 1] 中世 の『聖書 』の研究者は、「6 は『神が世界を創造した（天地創造 ）6日間』、28 は『月 の公転周期 』で、これら2つの数は地上と天界における神の完全性を象徴している」[ 1] [ 2] 古代ギリシア の数学者は他にもあと2つの完全数 (496, 8128 ) を知っていた[ 1]
完全数の定義は、正の約数の総和が自分自身の2倍に等しいことと同値である。すなわち、N が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(N ) = 2N が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が 2 であると表現することもできる。
完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀 ごろのユークリッド である。彼は『原論 』（第9巻、命題36）で、「2n が素数 ならば、2n −1n は完全数である」ということを証明した[ 注釈 1] 2n で表される数をメルセンヌ数 といい、それが素数である場合をメルセンヌ素数
古代から、6、28、496、8128の4つの数が完全数であることは知られており、ゲラサのニコマコス の『算術入門 』には4つの完全数に関する記述が存在する[ 3]
ユークリッドの公式は偶数の完全数しか生成しないが、逆に偶数の完全数が全て 2n −1n の形で書けるかどうかは18世紀 までは未解決であった。レオンハルト・オイラー は偶数の完全数がこの形に限ることを証明した[ 4] [ 5] [ 注釈 2]
メルセンヌ素数の探索は、エドゥアール・リュカ とデリック・ヘンリー・レーマー （英語版 ） 1950年代 からコンピュータ が使われるようになる。現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われていて、2024年11月 (2024-11 ) 現在[update] [ 7]
2024年11月 (2024-11 ) 現在[update] メルセンヌ素数 と同じく52個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数 の完全数は無数に存在するか？」「奇数 の完全数は存在するか？」という問題は未解決である。
完全数は、小さい順に
6 , 28 , 496 , 8128 , 33550336 , 8589869056, …オンライン整数列大辞典 の数列 A000396 ）である。
各完全数の正の約数の総和は
12 , 56 , 992 , 16256, 67100672, 17179738112, …オンライン整数列大辞典 の数列 A139256 ）隣り合う完全数の差は
22 , 468 , 7632, 33542208, 8556318720, …オンライン整数列大辞典 の数列 A139228 ）完全数の総和の列は
6 , 34 , 530 , 8658 , 33558994 , …オンライン整数列大辞典 の数列 A092336 ）である。
6 と 28 がなぜ「完全」であるかは中世 の学者の議論の対象になり、6 は神が創造した1週間（日曜日は神が天地創造 を終えて休んだ安息日で、キリスト教 ではこれを除外する）、28 は「月 の公転周期 」とされた[ 1] 聖アウグスティヌス （? - 604年 ）はこれとは一線を画し、「6 はそれ自体完全な数である。神が万物を6日間で創造したから 6 が完全なのでなく、むしろ逆が真である」としている[ 1]
偶数の完全数 2p −1p (M p M p / 2 は M p 三角数 でもある。
偶数の完全数は、Mp = 2p 素数 のときの 2p −1Mp に限る（ユークリッド、オイラー）。
2p −1Mp が完全数であることの証明：[ 8]
ユークリッドの証明
Mp = 2p 2p −1 と Mp 互いに素 になる。
よって、σ(n ) を約数関数 とすると、約数関数は乗法的 なので、N = 2p −1Mp 約数 の総和 σ(N ) は、
σ
(
N
)
=
σ
(
2
p
−
1
)
σ
(
M
p
)
.
{\displaystyle \sigma (N)=\sigma (2^{p-1})\sigma (M_{p}).}
このとき、
σ
(
2
p
−
1
)
=
∑
k
=
0
p
−
1
2
k
=
2
p
−
1
=
M
p
.
{\displaystyle \sigma (2^{p-1})=\sum _{k=0}^{p-1}2^{k}=2^{p}-1=M_{p}.}
Mp
σ
(
M
p
)
=
M
p
+
1
=
2
p
.
{\displaystyle \sigma (M_{p})=M_{p}+1=2^{p}.}
したがって、
σ
(
N
)
=
M
p
2
p
=
2
N
.
{\displaystyle \sigma (N)=M_{p}2^{p}=2N.}
すなわち、N の約数の総和が 2N に等しくなるので、N は完全数である。Q.E.D.
偶数の完全数は 2p −1Mp の形に限ることの証明[ 4] [ 5] [ 注釈 2]
オイラーの証明
N を偶数の完全数とする。N を 2 で割り切る最大回数を n とすると、N = 2n K n は自然数、K は奇数）とおける。2n と K は互いに素 であるので、σ(n ) を約数関数 とすると、約数関数は乗法的 なので、N の正の約数の総和 σ(N ) は以下のようになる。
σ
(
N
)
=
σ
(
2
n
)
σ
(
K
)
=
(
∑
k
=
0
n
2
k
)
σ
(
K
)
=
(
2
n
+
1
−
1
)
σ
(
K
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \left(N\right)&=\sigma \left(2^{n}\right)\ \sigma \left(K\right)=\left(\sum _{k=0}^{n}2^{k}\right)\sigma (K)\\&=\left(2^{n+1}-1\right)\ \sigma \left(K\right)\end{aligned}}}
N は完全数であるため、
σ(N ) = 2N = 2n +1K なので
(
2
n
+
1
−
1
)
σ
(
K
)
=
2
n
+
1
K
{\displaystyle \left(2^{n+1}-1\right)\sigma \left(K\right)=2^{n+1}K}
が導かれる。2n +1 は奇数なので 2 で割り切れず、式が成立するためには、σ(K ) は 2n +1 で割り切れなければならない。
σ(K ) = 2n +1a とおき、上の式に代入して両辺を 2n +1 で割れば
(
2
n
+
1
−
1
)
a
=
K
{\displaystyle \left(2^{n+1}-1\right)a=K}
となる。
もし a ≠ 11 、 a (2n +1a は K の相異なる約数のため、
σ
(
K
)
≧
1
+
a
+
(
2
n
+
1
−
1
)
a
=
2
n
+
1
a
+
1
=
σ
(
K
)
+
1
{\displaystyle \sigma \left(K\right)\geqq 1+a+\left(2^{n+1}-1\right)a=2^{n+1}a+1=\sigma \left(K\right)+1}
となり矛盾する。ゆえに、a = 1N が偶数の完全数であるためには、
K
=
2
n
+
1
−
1
{\displaystyle K=2^{n+1}-1}
σ
(
K
)
=
2
n
+
1
=
K
+
1
{\displaystyle \sigma \left(K\right)=2^{n+1}=K+1}
でなければならない。σ(K ) = K + 1 より、K は K と 1 以外に約数がない素数でなければならない。
ゆえに、N が偶数の完全数であるのは、
N = 2n n +12n +1 は素数）の形のときに限られる。Q.E.D.
偶数の完全数を N = 2p −1p 2p は素数）とする。
N の正の約数の個数は d (N ) = 2p d は約数の個数を表す約数関数 ）。N の正の約数の調和平均 は p 、ゆえに N は調和数 である。6 以外の偶数の完全数は、1 から連続する正の奇数の立方和 で表せる。式で表すと
N
=
∑
k
=
1
2
p
−
1
2
(
2
k
−
1
)
3
(
p
≧
3
)
{\displaystyle N=\sum _{k=1}^{2^{\frac {p-1}{2}}}(2k-1)^{3}\quad (p\geqq 3)}
例：
28 = 13 + 33 , 496 = 13 + 33 + 53 + 73 , 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153 1 から連続する正の奇数の立方和で表せる数の列は1 , 28 153 , 496 1225 , 2556, 4753, 8128 オンライン整数列大辞典 の数列 A002593 ）1 , 6 28 120 , 496 2016 , 8128 オンライン整数列大辞典 の数列 A006516 ）この数列で完全数にならない数の数列は オンライン整数列大辞典 の数列 A144858 を参照 n × σ(n )n = 2p −1σ は約数関数 である。この数列は1 , 6 12 , 28 30 , 72 , 56 , 120 , 117 , 180 , 132 , 336 , 182 , 336 , 360 , 496 306 , 702 , 380 , 840 , …オンライン整数列大辞典 の数列 A064987 ）偶数の完全数は、1 から連続する正の整数の和で表せる。式で表すと
N
=
∑
k
=
1
2
p
−
1
k
(
p
≧
2
)
{\displaystyle N=\sum _{k=1}^{2^{p}-1}k\quad (p\geqq 2)}
例：6 = 1 + 2 + 3 , 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 , 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + 28 + 29 + 30 + 31
言い換えると、N は 2p 番目の三角数 である。偶数の三角数の列は
6 10 , 28 36 , 66 , 78 , 120 , 136 , 190 , 210 , 276 , 300 , 378 , 406 , 496 528 , 630 , 666 , 780 , 820 , 946 , 990, …オンライン整数列大辞典 の数列 A014494 ）偶数の完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数 でもある。六角数の列は 1 , 6 15 , 28 45 , 66 , 91 , 120 , 153 , 190 , 231 , 276 , 325 , 378 , 435 , 496 561 , …オンライン整数列大辞典 の数列 A000384 ）n 番目の六角数は n (2n − 1)2n (4n − 1) で表される。偶数の六角数の列は6 28 66 , 120 , 190 , 276 , 378 , 496 630 , 780 , 946 , …オンライン整数列大辞典 の数列 A014635 ）1 , 10 , 28 55 , 91 , 136 , 190 , 253 , 325 , 406 , 496 595 , 703 , 820 , 946 , …オンライン整数列大辞典 の数列 A060544 ）N を十進法 表示したとき、一の位は 6 または 8 である。
偶数の完全数は無数に存在するか、つまり Mp = 2p p は無数に存在するかどうかは未解決である。
奇数の完全数が存在するか否かは未解決であるが、約数関数 は乗法的 (英 : multiplicative ) であることから、二平方数の和であることが古くから知られていた。もし奇数の完全数 N が存在すれば、N は以下の各条件を満たさなければならないことが知られている。
N の素因数分解 は q α p 1 2e 1 … pk 2ek q , p 1 < p 2 < … < pk q ≡ α ≡ 1 (mod 4)[ 注釈 3] N < 24k +1 [ 10] p 1 < 2 / 3 k + 2[ 11] 2 ≤ i ≤ 6 のとき pi < 22i −1 (k − i + 1)[ 12] e 1 ≡ e 2 ≡ … ≡ ek ≡ 1 (mod 3)[ 13] e 1 ≡ e 2 ≡ … ≡ ek ≡ 2 (mod 5)[ 14] e 1 = e 2 = … = ek = ββ は 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 17, 18, 24, 62 ではない[ 15] [ 16] k ≤ 2β2 + 8β + 2[ 17] N ≡ 1 (mod 12)N ≡ 1 / 2 2e 1 (32e 1 +1 − 1) (mod 2 ・ 32e 1 (32e 1 +1 − 1))[ 18] [ 19] [ 20] [ 21] N > 101500 [ 22] これは1991年に示された[ 23] N は少なくとも10個の相異なる素因数を持つ[ 24] これは2015年に発表されたものであるが、「9個以上」を示した2006年の結果[ 25] カール・ポメランス によって示され、「8個」の場合は1980年ごろに Chein[ 26] [ 27] [ 28] N が 3 で割り切れない場合は、少なくとも12個の素因数を持つ[ 25] 3 でも 5 でも割り切れない場合は15個以上の、3 でも 5 でも 7 でも割り切れない場合は27個以上の相異なる素因数を持つ[ 29] N は重複も数えて少なくとも101個の素因数を持つ[ 22] [ 30] N は 108 より大きい素因数を持つ[ 31] これは2006年に発表されたものであるが、より古い下界としては2003年の 107 [ 32] 106 [ 33] N の2番目に大きな素因数は 104 より大きい[ 34] N の3番目に大きな素因数は 100 より大きい[ 35] N は 1062 より大きい素数冪因数を持つ[ 22]
完全数は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が 2 なので、調和数 である。この数の列は 1 , 6 28 140 , 270 , 496 672 , 1638, 2970, 6200, 8128 オンライン整数列大辞典 の数列 A001599 ）
約数の和を考えることで特徴付けられる数の種類には他にも次のようなものがある。完全数と併せて、これらの名称には古代ギリシアの数秘学 の影響が見られる。
倍積完全数 (multiperfect number)[ 36] 正の約数の和が自分自身の倍数である自然数を倍積完全数 という。特に、それがk 倍に等しいものをk 倍完全数2 倍完全数のことである。
1 , 6 28 120 , 496 672 , 8128 オンライン整数列大辞典 の数列 A007691 ）ハイパー完全数 (hyperperfect number)n が k -ハイパー完全数であるとは、n = 1 + k (σ(n ) − n − 1)k は自然数）（σ は約数関数 ）を満たすことと定義される。完全数は 1 -ハイパー完全数である。
k -ハイパー完全数の列は6 21 , 28 301 , 325 , 496 697 , 1333 , 1909, 2041, 2133, 3901, 8128 オンライン整数列大辞典 の数列 A034897 ）超完全数 (superperfect number)n が (m , k ) -完全数であるとは、σm n ) = kn （ただし k は自然数）（σ は約数関数）を満たすときと定義される。完全数は (1, 2) -完全数、倍積完全数は (1, k ) -完全数、超完全数は (2, 2) -完全数である。
完全数でない自然数を不完全数 (imperfect number) という。
不足数 (deficient number)[ 37] 自分自身以外の正の約数の和より大きい自然数
過剰数 (abundant number)[ 38] 自分自身以外の正の約数の和より小さい自然数
友愛数 (amicable pair)[ 39] 自分自身以外の正の約数の和が互いに他方に等しい2つの自然数の組。
社交数 (sociable numbers)[ 40] 友愛数と同様の関係が成立する3個以上の自然数の組。
準完全数 （英語版 ） [ 41] n が準完全数 であるとは、正の約数の和が 2n + 1 に等しいことと定義される。過剰数の一種。そのような数はいまだに見つかっていないが、存在するならばそれは奇数の平方数で 1035 より大きく、少なくとも7つの約数を持つということが示されている。概完全数 （英語版 ） [ 42] n が概完全数 であるとは、正の約数の和が 2n − 1 に等しいことと定義される。不足数の一種。2k の形の自然数はこの条件を満たしているが、この形の自然数以外の概完全数が存在するのかどうかは知られていない。乗法的完全数 (multiplicative perfect number)[ 43]
正の約数の積が自分自身の自乗（2乗）に等しい数を乗法的完全数 という。乗法的完全数の列は、
1 , 6 , 8 , 10 , 14 , 15 , 21 , 22 , …オンライン整数列大辞典 の数列 A007422 ）
小川洋子 の小説『博士の愛した数式 』（2003年）では登場人物の「博士」が阪神タイガース の江夏豊 投手のファンであったことの理由として江夏の背番号が28であったことを挙げ、その際に完全数の説明がなされている。
日本プロ野球 で初めて完全試合 が達成されたのは月・日とも完全数の1950年6 月28 日だった。
^ 『ユークリッド原論 』第9巻、命題36は以下の通り。
もし単位から始まり順次に1対2の比をなす任意個の数が定められ，それらの総和が素数になるようにされ，そして全体が最後の数にかけられてある数を作るならば，その積は完全数であろう。
— エウクレイデス 、『ユークリッド原論 』第9巻、命題36 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n -1Mn が素数ならば Mn × 2n -1 ^ a b Euler (1849) は. 1747年2月23日にベルリン・アカデミーにより査読され、オイラーの死後の1849年に出版された。特に 88頁の§8を参照[ 6]
^ オイラーが証明した[ 9]
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^ 淡中忠郎 「メルセンヌ数物語」『数学セミナー』、1973年9月号。数学セミナー編集部(1982) 、65-67頁に再録されている。^ Nicomachus of Gerasa (1926). Introduction to Arithmetic . https://archive.org/details/NicomachusIntroToArithmetic ^ a b ハーディ & ライト 2001 , p. 317
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被整除性に基づいた整数の集合
概要 因数分解による分類 約数和による分類 約数が多いもの アリコット数列 関連位取り記法 に基づくものその他
