Mòdul lliure

Si a l'estructura d'espai vectorial hom substitueix el cos d'escalars per un anell, l'estructura obtinguda és la de mòdul. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de mòdul lliure és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol homomorfisme d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una base.

Posem això en una notació adequada: si ${\displaystyle M\,}$ i ${\displaystyle N\,}$ són espais vectorials i ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ és una base de ${\displaystyle M}$, una aplicació ${\displaystyle j:{\mathcal {B}}\longrightarrow N\,}$ informa quant a quina és la imatge de cada element de la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de ${\displaystyle M}$ i només d'això. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme ${\displaystyle f:M\longrightarrow N\,}$ de manera que si ${\displaystyle i:{\mathcal {B}}\longrightarrow M\,}$ és la injecció natural, el següent diagrama

és commutatiu. La definició del ${\displaystyle A}$-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors explota aquest fet exhaustivament.

Siguin ${\displaystyle A}$ un anell commutatiu amb unitat i ${\displaystyle S}$ un conjunt. El ${\displaystyle A}$-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors ${\displaystyle S}$, denotat ${\displaystyle F_{S}}$, és l'únic ${\displaystyle A}$-mòdul proveït d'una aplicació ${\displaystyle i:S\longrightarrow F_{S}}$ que compleix que, per qualsevol altre ${\displaystyle A}$-mòdul ${\displaystyle M}$ i qualsevol aplicació ${\displaystyle f:S\longrightarrow M}$, hi ha un únic homomorfisme de mòduls, ${\displaystyle {\tilde {f}}:F_{S}\longrightarrow M}$ que fa que el següent diagrama

sigui commutatiu, això és, que ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ i\,}$.

Comencem per veure que, si ${\displaystyle h:F_{S}\longrightarrow F_{S}\,}$ és un homomorfisme de mòduls que fa ${\displaystyle h\circ i=i\,}$, aleshores ${\displaystyle h}$ és la identitat. En efecte, en el diagrama de la dreta

la commutativitat és òbvia i la unicitat establerta per la definició per a ${\displaystyle {\tilde {i}}=h\,}$ del diagrama de l'esquerra obliga que ${\displaystyle {\tilde {i}}=h={\mbox{Id}}_{F_{S}}\,}$.

Sigui ara ${\displaystyle \left(F'_{S},i'\right)\,}$ un altre mòdul lliure sobre el conjunt de generadors ${\displaystyle S}$. Tenim els següents diagrames commutatius:

o sigui,

${\displaystyle i'={\tilde {i'}}\circ i\,,\qquad i={\tilde {i}}\circ i'\,}$

que, per substitució, dona

${\displaystyle i'={\tilde {i'}}\circ {\tilde {i}}\circ i'=({\tilde {i'}}\circ {\tilde {i}})\circ i'\,,\qquad i={\tilde {i}}\circ {\tilde {i'}}\circ i=({\tilde {i}}\circ {\tilde {i'}})\circ i\,}$

Ara bé, segons l'observació inicial, ha de ser

${\displaystyle {\tilde {i'}}\circ {\tilde {i}}={\mbox{Id}}_{F'_{S}}\,,\qquad {\tilde {i}}\circ {\tilde {i'}}={\mbox{Id}}_{F_{S}}\,}$

i, per tant, ${\displaystyle {\tilde {i}}}$ i ${\displaystyle {\tilde {i'}}}$ són inverses l'una de l'altra i, en conseqüència, els dos mòduls lliures, ${\displaystyle F_{S}}$ i ${\displaystyle F'_{S}}$ són isomorfs. A més, per la condició d'unicitat, no hi ha cap altre isomorfisme que respecti les aplicacions ${\displaystyle i}$ i ${\displaystyle i'}$: tenim, doncs, que aquest isomorfisme és únic.

El conjunt ${\displaystyle i(S)\,}$ genera el mòdul lliure ${\displaystyle F_{S}}$, això és, qualsevol submòdul ${\displaystyle M\subset F_{S}\,}$ que contingui ${\displaystyle i(S)\,}$ és exactament igual a ${\displaystyle F_{S}}$. A més, el conjunt ${\displaystyle i(S)\,}$ és lliure, és a dir, els seus elements són linealment independents.

Per veure-ho, considerem les aplicacions

${\displaystyle {\begin{matrix}f:S\longrightarrow F_{S}/M&\\f(s)=0\,,&\forall s\in S\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}\zeta :F_{S}\longrightarrow F_{S}/M&\\\zeta (\varphi )=0\,,&\forall \varphi \in F_{S}\end{matrix}}\,}$

i la projecció canònica ${\displaystyle \pi :F_{S}\longrightarrow F_{S}/M\,}$. Aleshores, els dos diagrames

són òbviament commutatius i, de la unicitat, en resulta ${\displaystyle \pi =\zeta \,}$, és a dir, que la projecció canònica és nul·la i, per tant, que ${\displaystyle M=F_{S}\,}$.

La independència lineal dels elements de ${\displaystyle i(S)\,}$ es pot establir així: per a un element determinat ${\displaystyle s_{0}\in S\,}$, considerem l'aplicació

${\displaystyle f:S\longrightarrow A\,}$

${\displaystyle f(s)={\begin{cases}0\,,{\mbox{ si }}s\neq s_{0}\\1\,,{\mbox{ si }}s=s_{0}\\\end{cases}}\,}$

En considerar l'anell ${\displaystyle A\,}$ com a ${\displaystyle A}$-mòdul, hi ha el morfisme induït al mòdul lliure ${\displaystyle {\tilde {f}}:F_{S}\longrightarrow A\,}$ que fa ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ i\,}$. Prenem ara qualsevol suma finita

${\displaystyle \sum _{s\in S}a_{s}i(s)=0}$

Tenim:

${\displaystyle 0={\tilde {f}}(0)={\tilde {f}}\left(\sum _{s\in S}a_{s}i(s)\right)=\sum _{s\in S}a_{s}{\tilde {f}}\left(i(s)\right)=\sum _{s\in S}a_{s}f(s)=a_{s_{0}}f\left(s_{0}\right)=a_{s_{0}}}$

i, com que això s'esdevé per qualsevol índex ${\displaystyle s_{0}\in S\,}$, resulta que ${\displaystyle a_{s}=0\,,\forall s\in S}$ i la independència lineal queda demostrada. Aleshores, ${\displaystyle i(S)\,}$ és una base del mòdul lliure ${\displaystyle F_{S}}$.

Inversament, tot ${\displaystyle A}$-mòdul ${\displaystyle M\,}$ proveït d'una base ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,}$, és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació

${\displaystyle i:{\mathcal {B}}\longrightarrow M}$

${\displaystyle i(b)=b}$

i ara, si ${\displaystyle N\,}$ és un altre ${\displaystyle A}$-mòdul i ${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\longrightarrow N\,}$ és una aplicació qualsevol de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ a ${\displaystyle N}$, l'aplicació

${\displaystyle {\tilde {f}}:M\longrightarrow M}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(\varphi )={\tilde {f}}\left(\sum _{b\in {\mathcal {B}}}a_{b}b\right)=\sum _{b\in {\mathcal {B}}}a_{b}f(b)}$

és, trivialment, un homomorfisme de ${\displaystyle M\,}$ a ${\displaystyle N\,}$ i el següent diagrama

és commutatiu.

En particular, si l'anell ${\displaystyle A}$ és un cos, aleshores ${\displaystyle M}$ és un espai vectorial sobre ${\displaystyle A}$ i, com a tal, té almenys una base. En conseqüència, tots els espais vectorials són lliures sobre cadascuna de les seves bases.

En realitat, allò que descriu aquest apartat és que un homomorfisme entre ${\displaystyle A}$-mòduls, el domini del qual és lliure, queda determinat per les imatges dels elements d'una base qualsevol del domini.

Si ${\displaystyle S\,}$ és un conjunt finit, el ${\displaystyle A}$-mòdul lliure ${\displaystyle F_{S}\,}$ es diu de generació finita o finitament generat. Hom pot considerar, sense inconvenient, substituir el conjunt ${\displaystyle S}$, de ${\displaystyle n}$ elements, pel conjunt finit

${\displaystyle \left\{1,2,\ldots ,n\right\}\,}$

Aleshores, ${\displaystyle F_{S}\,}$ se sol denotar per ${\displaystyle A^{n}\,}$, tot expressant que el mòdul lliure sobre el conjunt ${\displaystyle \left\{1,2,\ldots ,n\right\}}$ no és altra cosa que el producte directe de ${\displaystyle n\,}$ exemplars de l'anell ${\displaystyle A\,}$, els elements en són ${\displaystyle n}$-tuples d'elements de l'anell, amb la suma de ${\displaystyle n}$-tuples i la multiplicació per elements de l'anell en la forma usual.

Si ${\displaystyle A^{n}\,}$ és l'${\displaystyle A}$-mòdul lliure amb generadors ${\displaystyle \left\{1,2,\ldots ,n\right\}}$, i ${\displaystyle A^{m}\,}$ és un altre mòdul lliure, una aplicació ${\displaystyle f:\left\{1,2,\ldots ,n\right\}\longrightarrow A^{m}}$ determina un únic homomorfisme ${\displaystyle {\tilde {f}}:A^{n}\longrightarrow A^{m}\,}$ entre ambdós mòduls. La descripció de l'aplicació ${\displaystyle f\,}$ se sol fer mitjançant una matriu de ${\displaystyle m\,}$ files i ${\displaystyle n\,}$ columnes,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}}\,,\quad i=1,\ldots ,m\,,\quad j=1,\ldots ,n\,}$

d'elements de l'anell ${\displaystyle A}$ de manera que la columna ${\displaystyle j}$ conté l'expressió de ${\displaystyle f(j)\in A^{m}}$ en alguna base d'aquest últim mòdul. La matriu, doncs, determina l'homomorfime ${\displaystyle {\tilde {f}}\,}$ de manera unívoca.

En conseqüència, l'àlgebra de les matrius ${\displaystyle m\times n\,}$ d'elements de l'anell ${\displaystyle A}$ és isomorfa a l'àlgebra dels homomorfismes de ${\displaystyle A^{n}}$ a ${\displaystyle A^{m}}$.

Construirem ara efectivament el ${\displaystyle A}$-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors ${\displaystyle S}$. El conjunt ${\displaystyle F_{s}}$ és el conjunt de totes les funcions ${\displaystyle \varphi :S\longrightarrow A\,}$ que prenen el valor ${\displaystyle 0\in A\,}$ excepte en un nombre finit d'elements de ${\displaystyle S}$. Clarament, les operacions

${\displaystyle \left(\varphi +\psi \right)(s)=\varphi (s)+\psi (s)\,,\qquad \left(a\varphi \right)(s)=a\left(\varphi (s)\right)\,,\qquad \varphi ,\psi \in F_{S}\,,\quad s\in S\,,\quad a\in A\,}$

fan de ${\displaystyle F_{s}}$ un ${\displaystyle A}$-mòdul.

Però l'aplicació ${\displaystyle i:S\longrightarrow F_{S}}$ definida per

${\displaystyle i(s)(t)={\begin{cases}0\,,{\mbox{ si }}s\neq t\\1\,,{\mbox{ si }}s=t\\\end{cases}}\qquad s,t\in S\,}$

fa de ${\displaystyle F_{s}}$ el ${\displaystyle A}$-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors ${\displaystyle S}$. En efecte, sigui ${\displaystyle f:S\longrightarrow M\,}$ una aplicació del conjunt ${\displaystyle S\,}$ sobre un cert ${\displaystyle A}$-mòdul ${\displaystyle M\,}$. L'aplicació

${\displaystyle {\tilde {f}}:F_{S}\longrightarrow M\,}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(\varphi )=\sum _{s\in S}\varphi (s)f(s)}$

és un morfisme d'${\displaystyle A}$-mòduls perquè

${\displaystyle {\tilde {f}}(\varphi +\psi )=\sum _{s\in S}\left(\varphi +\psi \right)(s)f(s)=\sum _{s\in S}\left(\varphi (s)+\psi (s)\right)f(s)=\sum _{s\in S}\varphi (s)f(s)+\sum _{s\in S}\psi (s)f(s)={\tilde {f}}(\varphi )+{\tilde {f}}(\psi )}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(a\varphi )=\sum _{s\in S}\left(a\varphi (s)\right)f(s)=\sum _{s\in S}a\varphi (s)f(s)=a\sum _{s\in S}\varphi (s)f(s)=a{\tilde {f}}(\varphi )}$

i, si ${\displaystyle {\tilde {f'}}:F_{S}\longleftrightarrow M\,}$ és un altre morfisme que fa ${\displaystyle {\tilde {f'}}\circ i=f\,}$, aleshores, per a ${\displaystyle \varphi \in F_{S}\,}$, com que ${\displaystyle i(S)\,}$ genera ${\displaystyle F_{S}}$,

${\displaystyle \varphi =\sum _{s\in S}a_{s}i(s)}$

i

${\displaystyle {\tilde {f'}}\left(\varphi \right)={\tilde {f'}}\left(\sum _{s\in S}a_{s}i(s)\right)=\sum _{s\in S}a_{s}{\tilde {f'}}(i(s))=\sum _{s\in S}a_{s}f(s)=\sum _{s\in S}a_{s}{\tilde {f}}(i(s))={\tilde {f}}\left(\sum _{s\in S}a_{s}i(s)\right)={\tilde {f}}\left(\varphi \right)}$

i, per tant, ${\displaystyle {\tilde {f'}}={\tilde {f}}\,}$. En conseqüència, el ${\displaystyle A}$-mòdul ${\displaystyle F_{S}\,}$ així construït és el ${\displaystyle A}$-mòdul lliure generat pel conjunt ${\displaystyle S}$.

• Garrett, Paul (2005). Free modules, PIDs, finitely-generated modules over PIDs (postscript)
• PlanetMath: free module^{[Enllaç no actiu]}
• PlanetMath: free vector space over a set^{[Enllaç no actiu]}