圖為五種由0到1不同離心率的開普勒方程解 開普勒方程 （英語：Kepler's equation ）把軌道力學 中受到連心力 影響的軌道中天體多種幾何性質聯繫起來。
這條方程最早由約翰內斯·開普勒 得出，推導過程見於他在1609年出版的著作《新天文學 》的第60章[ 1] [ 2] 哥白尼天文學概要 [ 3] [ 4] 天體力學 史上。
開普勒方程 如下：
M
=
E
−
e
sin
E
{\displaystyle M=E-e\sin E}
其中M 平近點角 ，E 偏近點角 ，而e 離心率 .
偏近點角E x = a (1 − e )y = 0t = t 0 平均運動 n M = n (t − t 0 )M E
x
=
a
(
cos
E
−
e
)
y
=
b
sin
E
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}}
其中a 半長軸 ，而b 半短軸 。
由於正弦 是超越函數 ，所以開普勒方程是超越方程 ，即是說不能用代數方法 解出E E 數值分析 和級數 。
開普勒方程共有幾種形式。每一種形式都同一種特定軌道類型有關。標準的開普勒方程用於橢圓軌道（0 ≤e e e e 巴克方程
當e = 0時，軌道是圓形的。增加e 會導致圓形變成橢圓。當e = 1時共有三種可能性：
抛物線軌跡；
沿着從吸引中心起始無限長射線向內或向外的軌跡；
或沿着由吸引中心和距其一定距離的點所形成的線段來回移動的軌跡。 把e e 趨向無限時，軌道則變成長度無限的直線。
雙曲開普勒方程如下：
M
=
e
sinh
H
−
H
{\displaystyle M=e\sinh H-H}
其中H M −1的平方根 乘上橢圓方程的右邊而得：
M
=
i
(
E
−
e
sin
E
)
{\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}
（其中E iH E
徑向開普勒方程如下：
t
(
x
)
=
sin
−
1
(
x
)
−
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle t(x)=\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}}
其中t x 1/2 e
t
(
x
)
=
1
2
[
E
−
sin
(
E
)
]
{\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin(E)\right]}
代入得
E
=
2
sin
−
1
(
x
)
{\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}})}
可以利用已知的E M M E 解析解 。
可以使用拉格朗日反算法 級數 表達式，但所有e M
文獻中對開普勒方程可解性的混淆已存在了四個世紀[ 5]
“
對於它［開普勒方程］不能用演繹法求解這點我是足夠滿意的，因為弧和正弦之間有着本質上的差異。但若果我錯了的話，任何人都應該給我指出來，而那個人在我眼中就是偉大的阿波羅尼奧斯 。
”
——約翰內斯·開普勒[ 6]
逆開普勒方程是所有實數值
e
{\displaystyle e}
E
=
{
∑
n
=
1
∞
M
n
3
n
!
lim
θ
→
0
+
(
d
n
−
1
d
θ
n
−
1
(
(
θ
θ
−
sin
(
θ
)
3
)
n
)
)
,
e
=
1
∑
n
=
1
∞
M
n
n
!
lim
θ
→
0
+
(
d
n
−
1
d
θ
n
−
1
(
(
θ
θ
−
e
sin
(
θ
)
)
n
)
)
,
e
≠
1
{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}
展開得：
E
=
{
s
+
1
60
s
3
+
1
1400
s
5
+
1
25200
s
7
+
43
17248000
s
9
+
1213
7207200000
s
11
+
151439
12713500800000
s
13
+
⋯
|
s
=
(
6
M
)
1
/
3
,
e
=
1
1
1
−
e
M
−
e
(
1
−
e
)
4
M
3
3
!
+
(
9
e
2
+
e
)
(
1
−
e
)
7
M
5
5
!
−
(
225
e
3
+
54
e
2
+
e
)
(
1
−
e
)
10
M
7
7
!
+
(
11025
e
4
+
4131
e
3
+
243
e
2
+
e
)
(
1
−
e
)
13
M
9
9
!
+
⋯
,
e
≠
1
{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\bigg |}{s=(6M)^{1/3}},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}
以上的級數可用Wolfram Mathematica 的InverseSeries運算得出。
InverseSeries [ Series [ M - Sin [ M ], { M , 0 , 10 }]] InverseSeries [ Series [ M - e Sin [ M ], { M , 0 , 10 }]] 這些函數只是簡單的麥克勞林級數 。這樣的超越函數泰勒級數寫法可被視為那些函數的定義。因此，這個解是逆開普勒方程的正式定義。然而，在e E M 整函數 。其導數
d
M
/
d
E
=
1
−
e
cos
E
{\displaystyle dM/dE=1-e\cos E}
在e
E
=
±
i
cosh
−
1
(
1
/
e
)
{\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e)}
M
=
E
−
e
sin
E
=
±
i
(
cosh
−
1
(
1
/
e
)
−
1
−
e
2
)
{\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}
（其中逆cosh取正值），而dE/dM
cosh
−
1
(
1
/
e
)
−
1
−
e
2
{\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}
M
cos
−
1
(
1
/
e
)
−
e
2
−
1
{\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}}
e M <2π
還可以寫出用e e 拉普拉斯極限 （約為0.66）時不會收歛，與M M 2π e M M M 2π
逆徑向開普勒方程（e = 1）可被寫成：
x
(
t
)
=
∑
n
=
1
∞
[
lim
r
→
0
+
(
t
2
3
n
n
!
d
n
−
1
d
r
n
−
1
(
r
n
(
3
2
(
sin
−
1
(
r
)
−
r
−
r
2
)
)
−
2
3
n
)
)
]
{\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}
展開得：
x
(
t
)
=
p
−
1
5
p
2
−
3
175
p
3
−
23
7875
p
4
−
1894
3931875
p
5
−
3293
21896875
p
6
−
2418092
62077640625
p
7
−
⋯
|
p
=
(
3
2
t
)
2
/
3
{\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}
上述結果可用Wolfram Mathematica 求得:
InverseSeries [ Series [ ArcSin [ Sqrt [ t ]] - Sqrt [( 1 - t ) t ], { t , 0 , 15 }]]
逆問題在大部份的應用中都能以數值方法求得函數的根 ：
f
(
E
)
=
E
−
e
sin
(
E
)
−
M
(
t
)
{\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}
可以經牛頓法 來進行迭代：
E
n
+
1
=
E
n
−
f
(
E
n
)
f
′
(
E
n
)
=
E
n
−
E
n
−
e
sin
(
E
n
)
−
M
(
t
)
1
−
e
cos
(
E
n
)
{\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}
注意在這個計算E M f(E) E 0 = M (t ) 已經足夠。而對e > 0.8的軌道而言，則應取起始值{{{1}}} [ 7] :66-67 。而在面對抛物線軌跡的個案時則使用巴克方程
另一種有關的解法由考慮
E
=
M
+
e
sin
E
{\displaystyle E=M+e\sin {E}}
E
E
(
e
,
M
)
{\displaystyle E(e,M)}
定點迭代 [ 4]
function E ( e , M , n )
E = M
for k = 1 to n
E = M + e * sin E
next k
return E
迭代次數
n
{\displaystyle n}
e
{\displaystyle e}
H
=
e
sinh
H
−
M
{\displaystyle H=e\sinh H-M}
這個方法與上文牛頓法 解的關係如下：
E
n
+
1
=
E
n
−
E
n
−
e
sin
(
E
n
)
−
M
(
t
)
1
−
e
cos
(
E
n
)
=
E
n
+
(
M
+
e
sin
E
n
−
E
n
)
(
1
+
e
cos
E
n
)
1
−
e
2
(
cos
E
n
)
2
{\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}
若
M
−
E
n
{\displaystyle M-E_{n}}
e
{\displaystyle e}
E
n
+
1
≈
M
+
e
sin
E
n
{\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}
^ Kepler, Johannes. LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. argumentum falsæ hypotheseos . Astronomia nova . 1609: 299–300 [2018-09-06 ] . （原始内容存档 于2019-06-11） （拉丁语） . ^ Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy . Springer. 2001: 146–147. ISBN 978-0-387-95136-2 ^ Kepler, Johannes. Libri V. Pars altera.. Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ . 1621: 695–696 [2018-09-06 ] . （原始内容存档 于2019-06-19） （拉丁语） . ^ 4.0 4.1 Swerdlow, N. M. Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation . Journal for the History of Astronomy 31 : 339–341 [2018-09-06 ] . Bibcode:2000JHA....31..339S doi:10.1177/002182860003100404 存档 于2019-07-12）. ^ 開普勒方程常被聲稱“沒有解釋解”；例子見這裏 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）。至於這是否真確取決於是否認為無限級數（或不一定收歛的級數）算解釋解。也有其他作者無理地聲稱此方程無解；例子見M. V. K. Chari, Sheppard Joel Salon 2000 Technology & Engineering.
^ "Mihi ſufficit credere, ſolvi a priori non poſſe, propter arcus & ſinus ετερογενειαν. Erranti mihi, quicumque viam monſtraverit, is erit mihi magnus Apollonius." （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） Hall, Asaph. Kepler's Problem . Annals of Mathematics. May 1883, 10 (3): 65–66. doi:10.2307/2635832 ^ Pfleger, Oliver Montenbruck, Thomas. Astronomy on the Personal Computer Third edition. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 1998. ISBN 978-3-662-03349-4
Danby, J. M.; Burkardt, T. M. The solution of Kepler's equation. I. Cel. Mech. 1983, 31 : 95–107. Bibcode:1983CeMec..31...95D doi:10.1007/BF01686811 Conway, B. A. An improved algorithm due to Laguere for the solution of Kepler's equation. 1986. doi:10.2514/6.1986-84 Mikkola, Seppo. A cubic approximation for Kepler's equation. Cel. Mech. 1987, 40 (3). Bibcode:1987CeMec..40..329M doi:10.1007/BF01235850 Fukushima, Toshio. A method solving kepler's equation without transcendental function evaluations. Cel. Mech. Dyn. Astron. 1996, 66 (3): 309–319. Bibcode:1996CeMDA..66..309F doi:10.1007/BF00049384 Charles, E. D.; Tatum, J. B. The convergence of Newton-Raphson iteration with Kepler's equation. Cel. Mech. Dyn. Astr. 1997, 69 (4): 357–372. Bibcode:1997CeMDA..69..357C doi:10.1023/A:1008200607490 Stumpf, Laura. Chaotic behaviour in the newton iterative function associated with kepler's equation. Cel. Mech. Dyn. Astr. 1999, 74 (2): 95–109. doi:10.1023/A:1008339416143 Palacios, M. Kepler equation and accelerated Newton method. J. Comp. Appl. Math. 2002, 138 : 335–346. Bibcode:2002JCoAM.138..335P doi:10.1016/S0377-0427(01)00369-7 Boyd, John P. Rootfinding for a transcendental equation without a first guess: Polynomialization of Kepler's equation through Chebyshev polynomial equation of the sine. Appl. Num. Math. 2007, 57 (1): 12–18. doi:10.1016/j.apnum.2005.11.010
关于開普勒方程的特定應用，请见「開普勒定律」。
![{\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin(E)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ac18a34c030c0ecabc83bdc27a39e23b74db2f)
![{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b5648a447da6d4efa9ec7969d4c3378598c3cb)
![{\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bb7605f35d5f52f7c5c7439592bae70e1b2f33)
