超越函數

數學領域，超越函數與代數函數相反，是指那些不滿足任何以多項式方程的函數，即函數不滿足以變量自身的多項式為係數的多項式方程。換句話說，超越函數就是「超出」代數函數範圍的函數，也就是說函數不能表示為自变量与常数之间有限次的加、減、乘、除和開方。

嚴格的說，關於變量${\displaystyle z}$的解析函數${\displaystyle f(z)}$是超越函數，如果該函數是關於變量${\displaystyle z}$是代數獨立的。

對數和指數函數即為超越函數的例子，超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數，例如正弦、餘弦、正割、余割、正切 、余切等。

非超越函數稱為代數函數，代數函數的例子有多項式和平方根函數。

對代數函數進行不定積分運算能夠產生超越函數，如對數函數便是在對雙曲角圍成的面積研究中，對倒數函數${\displaystyle y=1/x}$不定積分得到的，以此方式得到的雙曲函數${\displaystyle \sinh ,\cosh ,\tanh }$等皆為超越函數。

微分代數的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類「標準」函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。

在因次分析裡，超越函數是非常有用的，因為它們只在其引數無因次時才有意義。因此，超越函數可以是因次錯誤的顯著來源。例如，${\displaystyle \log {(10{\mbox{cm}})}}$是個毫無意義的表示式。${\displaystyle \log {(10{\mbox{cm}})}}$不同於${\displaystyle \log {(5{\mbox{cm}}/3{\mbox{cm}})}}$和${\displaystyle (\log {10}){\mbox{cm}}}$，后兩者是有實際意義的。利用對數恒等式，將${\displaystyle \log {(10{\mbox{cm}})}}$展開為${\displaystyle \log {10}+\log(1{\mbox{cm}})}$能夠更清晰的說明該問題：一個有量綱的非代數運算會產生毫無意義的結果。

以下列出的函數都是超越函數：除了少數特殊的情況，對於一般的${\displaystyle x}$不能通過有限次代數運算求出${\displaystyle f(x)}$：

${\displaystyle f_{1}(x)=x^{\pi }}$

${\displaystyle f_{2}(x)=c^{x}\quad \left(c\neq 0,1\right)}$

${\displaystyle f_{3}(x)=x^{x}}$

${\displaystyle f_{4}(x)=x^{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle f_{5}(x)=\log _{c}x\quad \left(c\neq 0,1\right)}$

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