Polinomi d'Alexander

El polinomi d'Alexander (també anomenat polinomi d'Alexander-Conway) és un invariant per nusos en forma de polinomi d'una variable. Fou descobert en 1923 pel matemàtic James W. Alexander.

Sigui K un nus a la 3-esfera i sigui X el revestiment cíclic infinita del complementari de K. Aquest revestiment pot obtenir-se tallant el complementari del nus al llarg de la superfície de Seifert de K i enganxant-ne infinitament les còpies de la varietat resultant amb frontera de manera cíclica. Hi ha una transformació del revestiment t actuant en X. Considerem la primera homologia (de coeficients enters) de X, ${\displaystyle H_{1}(X)}$. La transformació t actua en l'homologia, per tant podem considerar ${\displaystyle H_{1}(X)}$ un mòdul sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$. És l'anomenat invariant d'Alexander o mòdul d'Alexander.

Aquest mòdul és finitament representable. La matriu que representa el mòdul s'anomena matriu d'Alexander. Si el nombre de generadors, r, és menor o igual al nombre de relacions, s, aleshores considerem l'ideal generat per tot r per r menors de la matriu; aquest és el 0è ideal de Fitting o ideal d'Alexander i no depèn de l'elecció de la representació. Si r és major que s, fixem l'ideal 0. Si l'ideal d'Alexander és principal, en prenem un generador; és el polinomi d'Alexander del nus. Com que és únic només llevat productes pel monomi de Laurent ${\displaystyle \pm t^{n}}$, se'n fixa com forma normalitzada la que té terme independent positiu.

Alexander va demostrar que l'ideal que porta el seu nom és diferent de zero i sempre principal. Per tant, el polinomi d'Alexander sempre existeix i és clarament un invariant per nusos, que es denota com ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$.

En 1969 el matemàtic John Conway, a partir de les relacions de Skein, trobà una definició equivalent del polinomi d'Alexander que en facilita el càlcul. Siguin L₊, L_- i L₀ tres nusos que difereixen només en un creuament segons la següent figura:

Aleshores, el polonomi d'Alexander es pot definir a partir de les equacions

${\displaystyle \Delta _{O}=1}$

${\displaystyle \Delta _{L_{+}}-\Delta _{L_{-}}+(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta _{L_{0}}=0}$ on O és el nus trivial.

Aquesta definició no només facilita el càlcul manual del polinomi, sinó que pot usar-se en computació.

La característica principal del polinomi d'Alexander, que és la que el fa interessant i invariant de nusos, és el fet que és invariant per moviments de Reidemeister. Ara bé, no existeix una relació unívoca entre nusos i els polinomis d'Alexander (dos nusos diferents poden tenir el mateix polinomi d'Alexander, com passa amb les reflexions de mirall d'alguns nusos). És a dir, sigui K₂ un nus definit com la reflexió emmirallada d'un nus K₁, i sigui ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$ el polinomi d'Alexander en t d'un nus K, en general ${\displaystyle \Delta _{K_{1}}(t)=\Delta _{K_{2}}(t)}$ (cosa que no passa amb altres invariants polinòmics per nusos).^[1]

Una propietat directa per definició del polinomi d'Alexander és que, normalitzat per la seva variable de manera que tingui un terme de grau 0, compleix ${\displaystyle \Delta (t)=\Delta (t^{-1})}$ i que ${\displaystyle \Delta (1)=\Delta (-1)}$.^[2]

• Yu, Josephine. «Alexander Polynomial of knots» (en anglès). Universitat de Berkeley, 2004. [Consulta: 13 agost 2015].
• Collins, Julia. «The Alexander Polynomial, The woefully overlooked granddaddy of knot polynomials» (en anglès). Universitat d'Edimburg, 25-05-2007. Arxivat de l'original el 12 de març 2012. [Consulta: 13 agost 2015].

• Polinomi de Jones
• Polinomi de HOMFLY
• Teoria de nusos