微分同胚

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在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。

對給定的兩個微分流形${\displaystyle M,N}$，若對光滑映射${\displaystyle f:M\to N}$，存在光滑映射${\displaystyle g:N\to M}$使得${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{N}}$、${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{M}}$，則稱${\displaystyle f}$為微分同胚。此時逆映射${\displaystyle g}$是唯一的。

若在微分流形${\displaystyle M,N}$之間存在微分同胚，則稱${\displaystyle M}$與${\displaystyle N}$是微分同胚的，通常記為${\displaystyle M\simeq N}$。

對於${\displaystyle C^{r}}$流形，可採同樣辦法定義${\displaystyle C^{r}}$微分同胚之概念。

考慮

${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq S^{1}}$

此微分同胚可由下述映射給出：

${\displaystyle x\mapsto e^{2\pi ix}.}$

對維度${\displaystyle \leq 3}$的流形，可證明同胚的流形必為微分同胚；換言之，此時流形上的拓撲結構確定了微分結構。在四維以上則存在反例，最早的構造是約翰·米爾諾的七維怪球，米爾諾更證明了七維球上恰有28種微分流形結構，它們都可表成某個在${\displaystyle S^{4}}$上的${\displaystyle S^{3}}$-叢。在1980年代，西蒙·唐納森與邁克爾·哈特利·弗里德曼的證明在${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$上有不可數個相異的微分結構。

• D.V. Anosov, Diffeomorphism, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4