在数据挖掘 和统计学 中，层次聚类 （英語：Hierarchical clustering ）是一种旨在建立聚类的层次结构的聚类分析 方法。层次聚类的策略通常有两种：
凝聚（Agglomerative clustering）：一种自底向上方法，从小集群开始，逐渐将其合并，形成更大的集群；
分裂（Divisive clustering）：一种自顶向下方法，从单个集群开始，递归地将其拆分成更小的集群。 凝聚和分离的操作通常用贪心算法 实现，结果通常用树状图 [ 1]
标准的凝聚层次聚类（Hierarchical agglomerative clustering，HAC）算法的时间复杂度为
O
(
n
3
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}
Ω
(
n
2
)
{\displaystyle \Omega (n^{2})}
O
(
n
2
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})}
[ 2] [ 3] 堆 （Heap）时，一般情况下的时间复杂度降至
O
(
n
2
log
n
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2}\log n)}
除了单连接聚类的特殊情况，除了穷举算法（复杂度
O
(
2
n
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(2^{n})}
使用穷举算法的分裂方法的复杂度为
O
(
2
n
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(2^{n})}
k-均值算法 ）进行分裂。
层次聚类的优点是可以采用任何有效的距离测量。当给定距离矩阵 时，观测本身是没有必要的。
原始数据 本节将对上图所示的原始数据进行聚集层次聚类（Agglomerative clustering），采取欧几里得距离 度量距离。
下图展示了聚类结果的树状图：
聚类结果 在给定高度切割树，会得到一个特定精度的聚类结果。例如，在从上往下数的第二行切割会得到四个集群：{a}、{b, c}、{d, e}和{f}；在第三行切割会得到{a}、{b, c}、{d, e, f}，相比之前，这是一个更粗糙（coarser）的聚类结果，集群的数量更少但集群更大。
该方法合并单独的元素形成集群并得到层次（Hierarchy）。本例有六个元素（{a}、{b}、{c}、{d}、{e} 、{f}），第一步确定哪些元素合并到一个集群，判定标准通常是元素间的距离，选取两个最近的形成集群。
也可以在该步构建距离矩阵 （矩阵的第i行第j列的数值为i-j元素之间的距离）。在聚类过程中，行、列被合并并形成新的距离。该方法为实现聚集层次聚类的通用方法，同时对缓存集群之间的距离有益。单连接聚类
在完成对距离最短元素b 和c 的合并后，形成的集群为：{a }、{b , c }、{d }、{e } 、{f }，对其进行进一步的合并需要度量集群{a}和{b, c}之间的距离（即两个集群间的距离）。通常将集群
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
max
{
d
(
x
,
y
)
:
x
∈
A
,
y
∈
B
}
.
{\displaystyle \max\{\,d(x,y):x\in {\mathcal {A}},\,y\in {\mathcal {B}}\,\}.}
min
{
d
(
x
,
y
)
:
x
∈
A
,
y
∈
B
}
.
{\displaystyle \min\{\,d(x,y):x\in {\mathcal {A}},\,y\in {\mathcal {B}}\,\}.}
两个集群的元素间的平均距离（又称平均连接聚类（Average linkage clustering），在UPGMA 方法中有应用）：
1
|
A
|
⋅
|
B
|
∑
x
∈
A
∑
y
∈
B
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {1 \over {|{\mathcal {A}}|\cdot |{\mathcal {B}}|}}\sum _{x\in {\mathcal {A}}}\sum _{y\in {\mathcal {B}}}d(x,y).}
所有聚类内方差的总和
被合并的集群方差的增加量 （Ward法 [ 4]
候选聚类从同一分布函数生成的概率（V-linkage） 当若干对组合具有同样的距离且为最小时，可以随机选取一对形成集群（生成不同的树状图）；也可以同时形成不同的集群（生成唯一的树状图）。[ 5]
聚类算法的停止准则可以取决于数量（当形成足够少的集群时停止）；也可以取决于距离（当两个集群之间的距离足够远，以至于不能形成新集群时停止）。
DIANA（DIvisive ANAlysis Clustering）是分裂层次聚类的基础算法。[ 6]
O
(
2
n
)
{\displaystyle O(2^{n})}
ALGLIB用C++和C#实现了多种层次聚类算法
ELKI实现了多种层次聚类算法
Julia 在Clustering.jl包中实现了层次聚类[ 7] Octave （GNU对MATLAB的兼容实现）实现了层次聚类（函数linkage）Orange（一个数据挖掘软件套件）实现了带有交互式树状图可视层次聚类
R 有内置的函数和包[ 8] SciPy 在Python中实现了层次聚类Scikit-learn 也在Python中实现了层次聚类Weka 实现了层次聚类
MATLAB 中有层次聚类分析SAS 在PROC CLUSTER中包含层次聚类分析Mathematica 有一个层次聚类包NCSS中实现了层次聚类分析
SPSS 中包括层次聚类分析Qlucore Omics Explorer中包括分层聚类分析
Stata 中包括层次聚类分析CrimeStat中实现了近邻层次聚类算法
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