克爾度規

廣義相對論中，克爾度規（英語：Kerr metric）或稱克爾真空（英語：Kerr vacuum），描述的一旋轉、球對稱之質量龐大物體（例如：黑洞）週遭真空區域的時空幾何。其為廣義相對論的精確解（英语：Exact solutions in general relativity），故又稱克爾解；廣義相對論的主導方程式——愛因斯坦場方程式是非線性的，找出其精確解是相當困難的任務。

克爾度規是史瓦西度規（1915年）的推廣，後者用以描述靜態不旋轉、球對稱且不帶電荷的龐大物體週遭真空區域的時空幾何。在有帶電荷的情形，史瓦西度規轉成萊斯納-諾德斯特洛姆度規（1916年–1918年）。約瑟夫·冷澤（英语：Josef Lense）和漢斯·提爾苓（英语：Hans Thirring）曾使用弱场近似方法得到过旋转轴对称球状物体度规的近似解。直到在1963年方由羅伊·克爾提出精確解。^[1]，但他并没有给出推导过程。1973年Schiffer等人给出了克尔度规的推导^[2]。

克爾度規的帶電荷版本為克爾-紐曼度規（1965年），以上四個相關的解可整理為如下表格：

其中Q代表物體所帶電荷，而J代表物體的自轉角動量。

若以波以耳-林德奎斯特座標寫出克爾真空解，則為：

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}}$

${\displaystyle +\ \Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+\left(\Delta +{\frac {2Mr(r^{2}+a^{2})}{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}}$

其中

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }$,

${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}}$,

• M為旋轉物體質量；
• a為自轉參數（spin parameter）或稱特定角動量（specific angular momentum），描述此物體的旋轉，與角動量J有關，關係式為a = J/M；
• 所有的物理量採用幾何單位：c=G=1。

當自轉參數a值為零，則表示物體無旋轉，克爾度規退化成史瓦西度規。a=M的例子對應到最大旋轉程度的質量物體。

注意到：

• 一般而言，波以耳-林德奎斯特徑向座標 r 並無簡單而直接、如同徑向座標般的詮釋。
• 「最大」旋轉程度指的是一黑洞可以存在的最大a值，而非旋轉質量物體可以具有的最大a值。

• 史瓦西度規（Schwarzschild metric）
• 克爾-紐曼度規（Kerr-Newman metric）
• 萊斯納-諾德斯特洛姆度規（Reissner-Nordström metric）