Độ cong

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong ${\displaystyle R}$ là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong ${\displaystyle \kappa }$ chính là nghịch đảo của bán kính cong ${\displaystyle R}$.

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}}$

Gọi ${\displaystyle ds}$ là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và ${\displaystyle d\phi }$ là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:

${\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}}$

Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes

Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số ${\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}}$, từ phần trên ta có định nghĩa:

${\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}}$

${\displaystyle d\phi }$ là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa ${\displaystyle \phi }$ là góc tiếp tuyến của đường cong.

${\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}}$

Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số ${\displaystyle t}$ ta được:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}$

Kết hợp các kết quả thu được ta có:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}}$

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số ${\displaystyle y=f(x)}$ thì độ cong được tính như sau:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}$

Xem thêm: Hệ tọa độ cực

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số ${\displaystyle r=r(\theta )}$ thì độ cong được tính như sau:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}$

Đường thẳng ${\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}}$ hay ${\displaystyle y=ax+b}$ sẽ có độ cong được tính như sau:

${\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$

Áp dụng công thức ta có:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0}$

hay công thức:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0}$

Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn ${\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}}$ hay ${\displaystyle r=R}$ sẽ có độ cong được tính như sau:

${\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0}$

Áp dụng công thức ta có:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}$

hay công thức:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}$

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.

• Đường parabol ${\displaystyle y=ax^{2}}$ sẽ có độ cong được tính như sau:

${\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2a}$

Áp dụng công thức ta có:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}$

• Đường ellipse ${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}}$ sẽ có độ cong được tính như sau:

${\displaystyle x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t}$

Áp dụng công thức ta có:

${\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}$

với ${\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$ là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes ${\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}}$ được tính theo công thức

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}$

• Bán kính cong
• Đa tạp Riemann
• Hệ tọa độ Descartes
• Hệ tọa độ cực
• Hình học vi phân

John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds