Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

 

Зоногон

Приклад зоногона з вісьмома сторонами. Праворуч у ньому проведено діагоналі, які з'єднують симетричні відносно центру вершини.

Зоногон — центрально-симетричний опуклий многокутник.

Еквівалентні визначення

Многокутник, не є зоногоном, але має лише одну пару не паралельних сторін і лише одну пару не рівних сторін. Пунктиром показана сторона зоногона, який вийде, якщо додати будь-яку з умов.
Зоногон на малюнку є сумою Мінковського помаранчевих відрізків: до будь-якої його точки існує шлях з векторів, подібних фіолетовим, що лежать на цих відрізках. Вони не обов'язково повинні мати спільну вершину, як на малюнку, оскільки сума Мінковського множин не залежить від їх паралельного перенесення.
Межа проєкції на площину чотиривимірного гіперкуба утворює в загальному випадку зоногон з вісьмома сторонами.
  • Зоногон — опуклий многокутник з парною кількістю сторін, які можна розбити на пари рівних і паралельних. Насправді, достатньо вимагати істинність обох умов для всіх пар сторін, крім однієї — для неї умова вже буде наслідком, що неважко довести за індукцією за кількістю сторін многокутника. Однак пара сторін, паралельність і рівність яких не постулюється, обов'язково повинна бути однією і тією ж для обох умов, інакше мнгокутник вже не обов'язково буде зоногоном: приклад многокутника, який не є зоногоном, у якому протилежні сторони лише однієї пари не паралельні і протилежні сторони лише однієї пари не рівні, зображений на рисунку.
  • Зоногон — опуклий многокутник з парною кількістю сторін, у якого всі протилежні сторони і кути рівні.
  • Зоногон — сума Мінковського скінченного числа відрізків на площині. Кількість сторін отриманого зоногона дорівнює подвоєній кількості відрізків.
  • Зоногон — межа проєкції на площину гіперкуба певної розмірності. Це визначення можна отримати з попереднього, користуючись тим фактом, що гіперкуб є сумою Мінковського своїх ребер, які виходять з однієї вершини, і тим, що проєкція суми Мінковського відрізків (як і будь-яких інших множин) є сумою Мінковського їхніх проєкцій. За розмірності гіперкуба отриманий зоногон має рівно сторін у загальному випадку і не більше сторін у будь-якому випадку. Важливо, що гіперкуб розмірності не обов'язково повинен проєктуватися з -вимірного простору на площину, що міститься в цьому просторі: наприклад, проєктуючи куб з ребром з тривимірного простору на площину, що міститься в ньому, можна отримати фігуру з діаметром менше , оскільки такий діаметр вписаної сфери куба, чия проєкція є колом діаметра і міститься всередині проєкції самого куба за будь-якого його положення, а ось ортогональна проєкція куба такого самого розміру з вершинами з п'ятивимірного простору на площину, утворену усіма точками вигляду , складається взагалі з однієї точки — . Це уточнення впливає не тільки на розмір одержуваних зоногонів — деякі зоногони з точністю до подібності можна отримати тільки проєктуванням гіперкуба на площину з простору більшої розмірності, ніж розмірність самого гіперкуба.

Часткові випадки

Властивості

  • Максимальна кількість пар вершин, які можуть міститись на однакових відстанях, у зоногоні з сторонами дорівнює . Існують зоногони з кількістю таких пар, рівною (див. «O» велике і «o» мале)[3].
  • Будь-який строго опуклий зоногон з сторонами можна розбити на паралелограмів, причому серед них завжди на кожну пару можливих напрямків сторін зоногона припадатиме рівно один паралелограм з такими самими напрямками сторін[4]. Кількості таких можливих розбиттів для зоногонів з будь-якими кількостями сторін дає послідовність A006245 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
  • Для будь-якого довільного розбиття зоногона на паралелограми (в будь-якій можливій їх кількості) знайдеться принаймні три вершини зоногона, кожна з яких належить лише одному з паралелограмів[5].

Способи зменшення кількості сторін

Відсікання шару паралелограмів (чотирикутних зоногонів).
Відсікання двох протилежних вершин зоногона.

Зазначені способи можна застосувати в індукції за кількістю сторін зоногона для доведення наведених вище еквівалентних визначень і властивостей.

  • Відсікання вершин — за допомогою нього, наприклад, легко доводиться еквівалентність головного визначення другому визначенню з розділу з еквівалентними визначеннями.
  • Відсікання смуг паралелограмів — крім іншого, його можна використати для доведення властивостей вище, пов'язаних з розбиттям зоногонів на паралелограми повністю.

Замощення площини зоногонами

Усі зоногони з кількістю вершин, більшою від чотирьох, у замощеннях нижче можна розбити на зоногони з меншою кількістю вершин за допомогою розсікання шарів паралелограмів, показаного на одному з малюнків вище. Також ці паралелограми можна видалити із замощення, що буде рівносильно «складанню» зоногонів у певному напрямку.

Замощення одним типом зоногонів

Чотирикутник і шестикутники, які є зоногонами, є також паралелогонами і допускають замощення площини власними копіями, отриманими тільки за допомогою паралельного перенесення.

Замощення площини одним типом зоногонів
Замощення чотирикутними зоногонами Замощення шестикутними зоногонами

Замощення двома типами зоногонів

Такі замощення є свого роду зрізаними замощеннями площини паралелограмами (чотирикутними зоногонами) по ребрах і по вершинах відповідно.

Замощення площин двома типами зоногонів
Замощення чотирикутними
і шестикутними зоногонами
Замощення чотирикутними
і восьмикутними зоногонами

Деякі інші замощення

Замощення площини декількома типами зоногонів, включно з восьмикутними, отримані з замощень площини одним типом зоногонів
Замощення чотирикутними
і восьмиукутними зоногонами
Замощення чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами
Каркаси
Замощення
У загальному випадку восьмикутний зоногон
задає два подібних замощення.
У загальному випадку восьмикутний зоногон
задає чотири подібних замощення.
Замощення площини чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами, отримані з замощень попередньої таблиці
Замощення, отримане з замощення чотирикутними і восьмикутними зоногонами Замощення, отримане з замощення чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами
Каркаси
Замощення
У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення (двома способами можна з'єднувати самі восьмикутники, а ще двома для кожного розташування восьмикутників згрупувати решту частини площини в чотирикутники і шестикутники). У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення, як і у випадку зліва. У цій мозаїці, на відміну від тієї, що зліва, чотирикутники, які беруть участь у заповненні дірок у «кільцях» з восьми восьмикутників, збігаються з чотирикутниками, які заповнюють дірки в «кільцях» з чотирьох восьмикутників — цей факт ілюструє можливість двоякого заповнення «кілець» з восьми восьмикутників (у другому варіанті їх чотирикутники збігалися б з чотирикутниками з «кілець» з шести восьмикутників).

Деякі способи «розсування» замощень

Замощення можна «розсунути» вздовж періодичних розрізів між многокутниками, а отримані щілини можна заповнити смугами, наведеними нижче.

Способи з рівномірним чергуванням сторін
Період 1
Період 2
Період 3
Період 4 За допомогою цієї смуги ліве замощення з першої таблиці попереднього розділу можна перетворити на праве замощення тієї ж таблиці.
Способи зі сторонами, що зустрічаються з різною частотою
Період 4 На межі цієї смуги один тип сторін зустрічається в два рази частіше, ніж будь-який з інших двох.

Узагальнення

  • Зоноедр (зонотоп) — многогранник, який є узагальненням зоногона для тривимірного простору та просторів більшої розмірності. Іноді під зоноедром мають на увазі тільки тривимірний многогранник, а під зонотопом — многогранник довільної розмірності.
  • Можна розглядати центрально-симетричний многокутник, що не є опуклим і навіть несамоперетинним. При цьому для нього будуть істинними тільки два перших визначення з розділу Еквівалентні визначення відповідно до прибраних вимог опуклості. У певному сенсі такі многокутники з невеликою кількістю сторін все ще будуть допускати замощення площини.

Примітки

  1. Монски, Пауль (1990), A conjecture of Stein on plane dissections, Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583—592, doi:10.1007/BF02571264, MR 1082876
  2. Стейн, Шерман; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, т. 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282
  3. Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry, H. Holt, с. 121, архів оригіналу за 18 березня 2022, процитовано 23 грудня 2020, If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon
  4. Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting, Springer, с. 28, ISBN 9783319107417, архів оригіналу за 18 березня 2022, процитовано 23 грудня 2020
  5. Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World, Cambridge University Press, с. 125, ISBN 9780883858035, архів оригіналу за 18 березня 2022, процитовано 23 грудня 2020
Kembali kehalaman sebelumnya


Index: pl ar de en es fr it arz nl ja pt ceb sv uk vi war zh ru af ast az bg zh-min-nan bn be ca cs cy da et el eo eu fa gl ko hi hr id he ka la lv lt hu mk ms min no nn ce uz kk ro simple sk sl sr sh fi ta tt th tg azb tr ur zh-yue hy my ace als am an hyw ban bjn map-bms ba be-tarask bcl bpy bar bs br cv nv eml hif fo fy ga gd gu hak ha hsb io ig ilo ia ie os is jv kn ht ku ckb ky mrj lb lij li lmo mai mg ml zh-classical mr xmf mzn cdo mn nap new ne frr oc mhr or as pa pnb ps pms nds crh qu sa sah sco sq scn si sd szl su sw tl shn te bug vec vo wa wuu yi yo diq bat-smg zu lad kbd ang smn ab roa-rup frp arc gn av ay bh bi bo bxr cbk-zam co za dag ary se pdc dv dsb myv ext fur gv gag inh ki glk gan guw xal haw rw kbp pam csb kw km kv koi kg gom ks gcr lo lbe ltg lez nia ln jbo lg mt mi tw mwl mdf mnw nqo fj nah na nds-nl nrm nov om pi pag pap pfl pcd krc kaa ksh rm rue sm sat sc trv stq nso sn cu so srn kab roa-tara tet tpi to chr tum tk tyv udm ug vep fiu-vro vls wo xh zea ty ak bm ch ny ee ff got iu ik kl mad cr pih ami pwn pnt dz rmy rn sg st tn ss ti din chy ts kcg ve 
Prefix: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9