|
Двадцяткова система числення
 Двадцяткова система числення - позиційна система числення з основою 20 для позначення будь-якого дійсного числа. Часто поєднується з п'ятірковою системою числення. Використовуються або арабські цифри або будь-які інші графічні символи для позначення від "0" до "19". Вважається, що, як і десяткова система числення, може бути пов'язана з рахунком на пальцях рук. Двадцять - кількість пальців рук і ніг. Мовою ескімосів 20 означає: ціла людина. Двадцяткова система використовується в багатьох мовах, зокрема в йоруба, серед тлінкітів, які використовують систему майя, у деяких кавказьких та азійських мовах. Також у європейських мовах основа 20 збереглася в деяких мовних конструкціях для деяких чисел. Французькою мовою vingt (20), quatre-vingts, 4 x 20 (80). Данською tyve (скорочення від tresindstyve), що означає 3 x 20 (60). Валлійською uagain (20), deugain, 2 x 20 (40). Баскською мовою, наприклад, 57 називається berrogeita hamazazpi або berrogei («дві двадцятки»), eta («і») і hamazazpi («сімнадцять»). Грузинською мовою, ოცდაათი (двадцять і десять (30)), ორმოცი (два двадцять (40)). На одному із грузинських гірських діалектів 120 - "шість двадцять", 140 - "сім двадцять". Подання чисел Є різні способи представлення числа у двадцятковій системі. Наприклад, один з них, з використанням арабських цифр, передбачає позначення від 0 до 19, при якому двозначні ряди відокремлюються крапками, кожен ряд має дві цифри для подачі 19 одиниць. Вищий ряд (справа наліво) множиться на 20. Після одиниць від 1 до 19, другий ряд побудований на основі числа 20, третій ряд базується на числі 400, четвертий - 8 000, п'ятий - 160 000, шостий - 3 200 000, сьомий - 64 000 000... Значення кожного ряду множиться на число, подане від 1 до 19. Дроби, після цілих чисел, виділяються комою. У позиційній системі цивілізації майя оник представлений мушлею. У різних місцях Мезоамерики знайдені зразки, які доводять, що мезоамериканські культури мали спільну спадщину. Двадцяткова система лічби є частиною цієї спільної спадщини [1]. Як і в десятковій системі, у двадцятковій число читається, починаючи з ряду з найбільшим значенням і закінчуючи одиницями, тобто - зліва направо, якщо запис вертикальний - зверху вниз. Запис числа у двадцятковій системі лічби може мати вигляд 00.00.00.00.00.00.00, де, зліва направо: 1-19х64000000.1-19х3200000.1-19х160000.1-19х8000.1-19х400.1-19х20.1-19. Таким чином, десяткові 112 000 000 буде: 01.15.00.00.00.00.00, тобто 1 х 64 000 000, 15 х 3 200 000, нульовий ряд з 160 000, нульовий ряд з 8000, нульовий ряд з 400, нульовий ряд з 20 і нуль одиниць (64 000 000 + 15 х 3 200 00 = 112 000 000). Десяткове число дві тисячі двадцять три (2023) у двадцятковій системі (з використанням арабських цифр) буде записане: 05.01.03. Тобто 5 по 400, 1 по 20, 3 одиниці. 2023 = (5 X 400) + (1 X 20) + 3 одиниці.
Гліф повторюється кілька разів, подібно до повторення крапок для позначення множини одиниць. Носії мови науатль використовували слово pohualli для позначення ряду на основі числа 20: Cempohualli (20), ompohualli (40), epohualli (60), nauhpohualli (80), macuilpohualli (100)... У наведених числівниках ce(m) - '1', om(e)-/on- - '2', e(i) - '3', nahui > nauh - '4'... Словом tzontli називали ряд, заснований на числі чотириста: Centzontli (400), ontzontli (800), etzontli (1200)... Слово xiquipilli позначало ряд на основі числа 8000: Cenxiquipilli (8000), onxiquipilli (16000), exiquipilli (24000)... Іншими словами були poalxiquipilli (8 000 X 20 = 160 000), tzonxiquipilli (160 000 X 20 = 3 200 000), poaltzonxiquipilli (3 200 000 X 20 = 64 000 000)... Вимовляючи число, між рядами вставляли прийменник «іпан» (на), відповідно до зображення вищого ряду над меншим. Помножити 4 одиниці на 2 одиниці, вимовлялося як nappa ome (чотири помножити на два). Поділити 4 одиниці на 2 - nahui itzalan ome (чотири на два). Додати 4 і 2 - nahui ihuan ome (чотири додати два). Відняти від 4 два - nahui iyoh ome (чотири відняти два. Сказати "4 кома два" - nahui ica ome (чотири з двома). Знак "дорівнює" (=) був названий inamic». 16 + 42 = 58 → ihuan ompohualli omome inamic ompohualli ipan caxtolli omeyi. Запис чисел з використанням цифр і літерЄ й інший спосіб запису числа у двадцятковій системі. Для того, щоб використовувати арабські цифри і кожен ряд позначати одним символом, а не двама, до десяти цифр ще додають дев'ять літер. Це можуть бути букви української абетки - А (10), Б (11), В (12), Г (13), Ґ (14), Д (15), Е (16), Є (17), Ж (18), З (19) - або латинські - А (10), В (11), С (12), D (13), E (14), F (15), G (16), Н (17), І (18), J (19) - або будь-які інші прийнятні і зрозумілі для загалу графічні символи. В такому випадку крапки між рядами не ставлять [2]. Тоді, десяткове число, скажімо, 587 433 221 може мати вигляд: 93B9311 (09.03.11.09.03.01.01). Open Location Code використовує для своїх геокодів безпечну версію основи 20. Символи цього алфавіту вибрано так, щоб уникнути випадкового утворення слів. Розробники оцінили всі можливі набори з 20 букв тридцятьма різними мовами на ймовірність утворення слів і вибрали набір, який утворював якомога менше впізнаваних слів. Алфавіт також призначений для зменшення друкарських помилок, уникнення візуально подібних цифр [3].
Двадцяткова система в календарі МезоамерикиУ майя місяць мав 20 днів. У році їх було 18 (360 діб). Тиждень складався з 5 днів, а місяць поділявся на чотири тижні по 5 днів [4]. Обрахунки у двадцятковій системі лічбиДодавання чисел, написаних у стовпчик чи в рядок, починається з одиниць. Щоб додати 25 (1,05) і 25 (1,05), результатом якого є 50 (2,10), треба .05 + .05 = 10 (десять одиниць). Потім 01 + 01 = 02 (два рази по двадцять). 75 + 75 = 150, 03.15+03.15=07.10. Спочатку додаються одиниці (15 + 15 = 30). Оскільки 30 більше, ніж 20 на 10, залишаємо 10 одиниць, а решту 20 (одну одиницю) переносимо в наступний, вищий "двадцятковий", ряд. У другому ряді додаємо 03 + 03 = 06, доплюсовуємо ще одну одиницю, з нижчого ряду, 06 + 01 = 07. 7 X 20 + 10 = 140 + 10 = 150. 327+852=1179: 16.07+02.02.12=02.18.19. Віднімаємо, 150 - 75 = 75: 07.10-03.15=03.15. Починаємо з одиниць (.10-.15). До 10 одиниць додаємо 20 одиниць, тому що 10 менше, ніж 15: 30 - 15 = 15, і переносимо одне число з 20 одиниць до наступного, двадцяткового ряду (03 + 01 = 04). Віднімаємо: 07 -04 = 03. Інший приклад 180-65 = 115 (09.00-03.05=05.15): до .00 додаємо 20, віднімаємо 05 і отримуємо 15. У двадцятковому ряді додаємо 03 + 01 = 04 і віднімаємо: 09 -04 = 05. Множення. Щоб помножити 25 (01,05) на чотири (04), результатом якого є 100 (05,00), потрібно почати з одиниць: 05×4=20. 20, як одиниця, переноситься до вищого, двадцяткового ряду. Потім 04 X 01=04, додається 1, результат - 05.00. Коли помножити 19.01 (381 у десятковій системі) на два, отримаємо 01.18.02 (762 у десятковій системі). Тобто, 01×2=02, 19×2=38, 18 залишається у двадцятковому ряді, а 20, як одиниця, переноситься у вищий ряд. 400 + 360 + 2. 19.01 X 02 = 01.18.02. Помноживши 19.01 (381 у десятковій системі) на три, ми отримаємо 02.17.03 (1 143 у десятковій системі). Починаємо з множення одиниць 3 X 01=03. Множимо у наступному ряді 3 X 19 = 57. У двадцятковому ряді записуємо 17, а 40, як дві одиниці, переносимо у вищий ряд, 02.17.03. Тобто 800 + 340 + 3 = 1 143. Таблиця множення у двадцятковій системі лічби
Ділення розв’язується так само, як в десятковій системі, але є особливість виконання дій у десятковій частині, яка відокремлена комою. 77,5 : 25 (03.17,10 : 01.05 = 03,02). У двадцятковій системі одиниця ділиться на 20 частин, тому 0,10 становить половину одиниці (0,5), 00.10 + 00.10 дає 01.00. ДробиПеретворення дробів десяткової системи у двадцяткову пов'язане з тим, що у двадцятковій половина (0,5) записується: 00,10. Тобто, десяті частини дробу перемножуємо на 2. На кожну соту цифру у дробах десяткової системи припадає чотири у двадцятковій системі, тому множимо на чотири. На кожну тисячну в десятковій системі припадає вісім у двадцятковій системі, отже, множимо на 8.
Дріб 0,98 (з десяткової системи), ми можемо легко перетворити у двадцяткову систему: а) беремо останню цифру після коми, 8, і множимо її на 4 (= 32), розкладаємо на 20 і 12, записуємо «.12», 20 - одиниця вищого ряду. б) цифру 9 множимо на 2 (= 18) і додаємо перенесене (18 + 1 = 19) і записуємо: «00,19,12». Отже, якщо ми хочемо поділити 55/4 (= 13,75), ми можемо представити це так: 02,15/04 = 13,15 у двадцятковій системі. Дроби в десятковій системі числення складаються з кількох цифр, які представляють десяті, соті, тисячні... На кожну одиницю десяткової системи припадає дві одиниці двадцяткової системи, адже одиниця десяткової системи числення має 10 одиниць, а двадцяткової — 20. Таблиця дробів
Переведення чисел з десяткової і двадцяткової систем лічбиЩоб перетворити десяткове число у двадцяткову систему лічби, треба на величину, яка представляє ряд, ділити число, заокруглене відповідно до показника ряду, що не перевищує її у 20 разів і не є меншим цієї величини, щоб остача ділилася на величину нижчого ряду. Наприклад, 587 433 221. 580 000 000 (заокруглене число, менше, аніж 1 280 000 000, але більше, ніж 64 000 000) : 64 000 000 = 9 (09.), залишок 4 000 000 ділимо на величину нижчого ряду - 3 200 000, буде 1 (01.), 800 000 ділимо на 160 000, отримаємо 5 (05.). Отже, 580 000 000 у двадцятковій системі - 09.01.05.00.00.00.00. 7 400 000 : 3 200 00 = 2 (02.), 1 000 000:160 000=6 (06.), 40 000:8 000=5 (05.). Отже, 7 400 000 - 02.06.05.00.00.00. Тобто, 7 400 000 - 02.06.05.00.00.00. Додаємо два значення: 09.01.05.00.00.00.00+02.06.05.00.00.00 =09.03.11.05.00.00.00 - запис числа 587 400 000. 33 000:8 000=4 (04.), 1000:400=2 (02.), 200:20=10, 04.02.10 - запис числа 33 000. 220:20=11 (11.), найнижчий ряд - 1, 11.01 - запис числа 221. Додаємо: 04.02.10+11.01=04.03.01.01 - 33 221. 04.03.01.01+09.03.11.05.00.00.00=09.03.11.09.03.01.01. Отже, 587 433 221 = 09.03.11.09.03.01.01. Двадцяткове число перетворюється у десяткову систему перемножуванням величин рядів і додаванням. 09.03.11.09.03.01.01 09х64 000 000+03×3 200 000+11×160 000+09×8 000+03×400+01×20+01= 576 000 000+9 600 000+1 760 000+72 000+1200+20+1= 587 433 221. Див.також
Література
Примітки
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
