Границя

Границя — одне з основних понять математики, яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення.

Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.

Стале число ${\displaystyle a}$ називають границею послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, якщо для кожного додатного числа ${\displaystyle \varepsilon }$, скільки б малим воно не було, існує такий номер ${\displaystyle N}$, що всі значення ${\displaystyle x_{n}}$, в яких номер ${\displaystyle n>N}$, задовольняють нерівність

${\displaystyle |x_{n}-a|<\varepsilon }$

Той факт, що ${\displaystyle a}$ є границею послідовності, позначають так: ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a}$ або просто ${\displaystyle \lim x=a}$ чи ${\displaystyle x_{n}\rightarrow a,n\rightarrow \infty }$. Номер ${\displaystyle N}$ залежить від вибору числа ${\displaystyle \varepsilon }$. При зменшенні ${\displaystyle \varepsilon }$ число ${\displaystyle N}$ буде збільшуватись. Тобто, чим більш близькі члени ${\displaystyle x_{n}}$ послідовності до ${\displaystyle a}$ вимагати, тим більші значення їх індексів.

Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, причому ${\displaystyle A\neq \emptyset }$, і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. У подальшому будемо розглядати функції ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$.

Число ${\displaystyle a}$ називається границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для кожного додатного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатне число ${\displaystyle \delta }$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\setminus \{x_{0}\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon .}$

Позначення:

${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}}$

або

${\displaystyle f(x)\to a}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$.

Під ${\displaystyle \varepsilon }$ і ${\displaystyle \delta }$ можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. У цих позначеннях похибка ${\displaystyle \varepsilon }$ обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані ${\displaystyle \delta }$ до граничної точки.

Число ${\displaystyle p}$ називається границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для довільної послідовності ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A}$, ${\displaystyle x_{n}\neq x_{0}}$ при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, що збігається до числа ${\displaystyle x_{0}}$, відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число ${\displaystyle p}$.

Наприклад,

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}}$.

Як видно f(1) не визначено, але коли x наближається до 1, то f(x) відповідно наближається до 2:

Таким чином, f(x) можна зробити як завгодно близьким до границі 2, просто зробивши x досить близьким до 1. Тобто

${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}$

Це також можна обчислити алгебраїчно як ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$ для всіх дійсних чисел x ≠ 1.

Оскільки ${\textstyle x+1}$ визначене при ${\textstyle x=1}$, то можна підставити 1 замість x, що приведе до рівності

${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}$

На додаток до границь зі скінченними значеннями, функції також можуть мати границі в нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію

${\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x}}}$,

для якої

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.9999

Коли x стає надзвичайно великим, значення f(x) наближається до 2, а значення f(x) можна наблизити до 2, зробивши x достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя f(x) при x, що прямує до плюс нескінченності, дорівнює 2, або в математичному записі

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}$

Границю іноді може бути важко обчислити. Існують граничні вирази, модуль збіжності^[en] яких нерозв’язний. У теорії обчислюваності гранична лема^[en] показує, що нерозв’язні задачі можна кодувати, використовуючи границі.^[1]

• Границя функції в точці
  • Одностороння границя: будь-яка з двох границь функції дійсної змінної x, коли x прямує до точки зліва або справа
  • Список границь: список границь поширених функцій
  • Стискна теорема: знаходить границю функції шляхом порівняння її з двома іншими функціями
• Верхня і нижня границі
• Швидкість збіжності
• Асимптотичний аналіз: метод опису граничної поведінки
  • Нотація Ландау: використовується для опису граничної поведінки функції, коли аргумент прямує до певного значення або нескінченності
• Фундаментальна послідовність
  • Повний метричний простір
• Рівномірна збіжність
• Збіжність майже всюди
• Збіжність за мірою
• Збіжність випадкових величин
• Границя в теорії категорій
  • Індуктивна границя
  • Проєктивна границя
• Межа (значення)

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)