П'ятіркова система числення Рунічні символи у п'ятірковій системі, що використовувалася в середньовіччі в Скандинавії для запису дат П'ятіркова система числення - позиційна система числення з п'ятицифровою основою - 0, 1, 2, 3, 4 - для позначення будь-якого дійсного числа . Число 5 записується як 10, 25 – як 100, а 60 – як 220.
Десяткову систему числення з числом 5 як підосновою називають подвійноп'ятірковою системою. Такою є римська система числення : число 8 записується як VIII (5+3). Іншим прикладом підоснови є шістдесяткова система числення з основою 60, яка використовує 10 як підоснову.
П'ятіркова таблиця множення
×
1 2 3 4 10 11 12 13 14 20
1 1
2
3
4
10
11
12
13
14
20
2 2
4
11
13
20
22
24
31
33
40
3 3
11
14
22
30
33
41
44
102
110
4 4
13
22
31
40
44
103
112
121
130
10 10
20
30
40
100
110
120
130
140
200
11 11
22
33
44
110
121
132
143
204
220
12 12
24
41
103
120
132
144
211
223
240
13 13
31
44
112
130
143
211
224
242
310
14 14
33
102
121
140
204
223
242
311
330
20 20
40
110
130
200
220
240
310
330
400
Запис чисел від нуля до двадцяти п'яти у п'ятірковій системі
П'ятіркова
0
1
2
3
4
10
11
12
13
14
20
21
22
Двійкова
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
Десяткова
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
П'ятіркова
23
24
30
31
32
33
34
40
41
42
43
44
100
Двійкова
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
Десяткова
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Записи дробів
Десяткові (periodic part )П'ятіркові (periodic part )
Двійкові (periodic part )
1/2 = 0.5
1/2 = 0.2
1/10 = 0.1
1/3 = 0.3
1/3 = 0.13
1/11 = 0.01
1/4 = 0.25
1/4 = 0.1
1/100 = 0.01
1/5 = 0.2
1/10 = 0.1
1/101 = 0.0011
1/6 = 0.16
1/11 = 0.04
1/110 = 0.010
1/7 = 0.142857
1/12 = 0.032412
1/111 = 0.001
1/8 = 0.125
1/13 = 0.03
1/1000 = 0.001
1/9 = 0.1
1/14 = 0.023421
1/1001 = 0.000111
1/10 = 0.1
1/20 = 0.02
1/1010 = 0.00011
1/11 = 0.09
1/21 = 0.02114
1/1011 = 0.0001011101
1/12 = 0.083
1/22 = 0.02
1/1100 = 0.0001
1/13 = 0.076923
1/23 = 0.0143
1/1101 = 0.000100111011
1/14 = 0.0714285
1/24 = 0.013431
1/1110 = 0.0001
1/15 = 0.06
1/30 = 0.013
1/1111 = 0.0001
1/16 = 0.0625
1/31 = 0.0124
1/10000 = 0.0001
1/17 = 0.0588235294117647
1/32 = 0.0121340243231042
1/10001 = 0.00001111
1/18 = 0.05
1/33 = 0.011433
1/10010 = 0.0000111
1/19 = 0.052631578947368421
1/34 = 0.011242141
1/10011 = 0.000011010111100101
1/20 = 0.05
1/40 = 0.01
1/10100 = 0.000011
1/21 = 0.047619
1/41 = 0.010434
1/10101 = 0.000011
1/22 = 0.045
1/42 = 0.01032
1/10110 = 0.00001011101
1/23 = 0.0434782608695652173913
1/43 = 0.0102041332143424031123
1/10111 = 0.00001011001
1/24 = 0.0416
1/44 = 0.01
1/11000 = 0.00001
1/25 = 0.04
1/100 = 0.01
1/11001 = 0.00001010001111010111
Запис числа 17 у нумерації майя з п'ятірковою підосновою: (3 тире (тире=5) + 2 крапки, тобто 3 × 5 + 2 × 1) У криптографії шифр, заснований на алфавіті рівно п'яти символів , називається п'ятірковим шифром. Відомим прикладом є метод ADFGX , використовуваний німецькими військовими на Західному фронті під час Першої світової війни . Шифр має основу (алфавіт) з п’яти літер: «A», «D», «F», «G» і «X».
Першою системою обчислення, ймовірно, була рука. Тому не дивно, що групи з 5, 10 або 20 трапляються в переважній більшості систем числення .
Незважаючи на майже повсюдне прийняття десяткової основи, існує багато випадків п'ятіркової нумерації у вимові чисел від 6 до 9, які складаються як "рука та одиниці". Такий п’ятизначний усний рахунок є по всьому світу, головним чином в Африці, Північній Америці, Океанії. Є такі сліди і в Європі та Азії. Таке поширення може свідчити про п’ятіркове походження примітивних систем числення. У десяткових чи двадцяткових письмових системах числення або в певних інструментах обчислення іноді з’являється п’ятіркова підоснова. Так відбувається в Азії при використанні китайських чи японських рахівниць і паличок для обчислення , де групування по 5, у системі, яка вважається десятковою позиційною, визначається так званою «п’ятірковою» кулею або перпендикулярною паличкою. У системі числення майя з основою 20 використовується п’ятіркова підоснова. П'ятіркова система лічби є на діалекті південноамериканського плімени бетоя [ 1]
Японська рахівниця для лічби за п'ятірковою системою Операційна система з п'ятірковою основою
5
= рука
6
= рука + 1
7
= рука + 2
8
= рука + 3
9
= рука + 4
10
= 2 руки
11
= 2 руки + 1.
15
= 3 руки
16
= 3 руки + 1
20
= 4 руки
П’ятіркову систему обчислення також мають плімена австралійських аборигенів [ 2] 5 називається rulu , десять - marrma rulu , 25 - dambumirri rulu , 125 –dambumirri dambumirri rulu , 31 - dambumirri ga wanggany rulu ga wanggany . Подібні назви чисел є у мові саравека (південноамериканська аравакська мова): 10 - inama no-kaxixi (2 руки), а 25 — arapiaice no-kaxixi (5 рук). У мові саравека нема назв чисел від 20 до 24 і після 25.
Бомбейські купці також застосовували п’ятіркову систему у своїх торговельних операціях, за якою вони могли рахувати до 30 обома руками, ліву руку використовували для підрахунку одиниць, а праву — п’ятірки. Величина 14, наприклад, представлена там 4 пальцями лівої руки та двома пальцями правої руки [ 3] [ 4]
Sumerian: gesh (1), min (2), esh (3), limmou (4), ia (5), ash (6), i-min (7 = 5+2), i-ssou (8 = 5+3), i-llimou (9 = 5+4)
Khmer: moy (1), pee (2), bay (3), buan (4), pram (5), pram moy (6 = 5+1), pram pii (7), pram buan (8), pram buan (9)
Bantawa: ʉk (1), hʉk (2), sum- (3), reʈ?(4), ʉk-chuk ("one hand"), ʉkchuk ʉk (6 = 1 hand + 1), ʉkchuk sum- (7=5+2), ʉkchuk sum- (8=5+3), ʉkchuk reʈ (9=5+4), hʉa-chuk ("2 hands")
Abui: nuku (1), ayoku (2), sua (3), buti (4), yeting (5), talaama (6), yeting-ayoku (7), yeting-sua (8), yeting-buti (9)
Sawila: sundana / dana (1), yaku (2), tuo (3), araasiku (4), yootine (5), yooting-suno (6=5+1), yooting-yaku (7=5+2), yootingtuo (8=5+3), yootaraasiku (9=5+4)
Inupiaq: atausiq (1), malġuk (2), piŋasut (3), sisamat (4), tallimat (5), itchaksrat (6), tallimat malġuk (7 = 5+2), tallimat piŋasut (8), quliŋuġutaiḷaq (9)
Yupik: atauciq (1), malruk (2), pingayun (3), cetaman (4), talliman (5), arvin-glegen (6), malrun-glegen (7 = 2+5), pingayun-legen (8=3+5), qulngunritaraan (9) en alutiik 29: allringuq, mal’uk, pingayun, staama, talliman (5), arwilgen (6), mallruungin (7=2+5), Inglulgen (=3+5), qulnguyan (9)
Alamblak 30: rpat (1), hosf (2), hos-fi-rpat (3=2+1), hos-fi-hosf (4=2+2), tir yohtt (5), tir yohtti rpat (6=5+1), tir yohtti hosf (7=5+2), tir yohtti hosfirpat (8=5+3), tir yohtti hosfihosf (9=5+4)
Alyutor (Chukotko-Kamchatka): ǝnnan (1), ŋitaq (2), ŋǝruqqǝ (3), ŋǝraqqǝ (4), mǝllǝŋin (5), ǝnnan-mǝllǝŋ(in) (6=1+5), ŋitaqmǝllǝŋ(in) (7=2+5), ŋǝruqmǝllǝŋ(in) (8=3+5), ŋǝraqmǝllǝŋ(in) (9=4+5)
Chukchi ( Chukotko-Kamchatka): ynnėn (1), ṇirėq (2), ṇyroqq (3), ṇyraqq (4), mėtḷyṇėn (5), ynnan-mytḷyṇėn (1+5), ṇėr’amytḷyṇėn (2+5), ṇyr’omytḷyṇėn (3+5), ṇyr’amytḷyṇėn (9)
Itelmen ( Chukotko-Kamchatka): qniŋ (1), касҳ (2), č’oq (3), č’aq (4), kuvumnuk (5), kelvuk (6), etuk-tunuk (7), čo’oq-tunuk (8=3+5), ča’aq-tanak (9=4+5)
Proto-aleoutian : *attaqa-n (1), *aallax (2), *qaanku (3), *sitsin (4), *tsang (5), *atsung (6), *allung (7), qamtsing (8), *sitsing (9)
Proto-eskimo: *ataʁuciʁ (1), *malʁugh (2), *pingayut (3), *citama (4), *tadlimat (5), *aʁvinelegh (6), *malʁughneng aʁvinelegh (7=2+5), *ningayuneng aʁvinelegh (8=3+5), *qulengnguʁutengit (9=4+5) en naukanski yuit: ataasiq (1), maalghut (2), pingayut (3), sitamat (4), taɫimat (5), aghvinelek (6), maalghugneng aghvinelek (7=2+5), pingayuneng aghvinelek (8=3+5), qulngughutngilnguq (9).
Proto-berber: yn (1), sn (2), krad (3), okkoz (4), fuss (5), fuss d yn (6=5+1), fuss d sn (7=5+2), fuss d krad (8=5+3), addad meraw (10-1) Soso: kérén (1), ̀fírín (2), sàxán (3), náání (4), súlí (5), sénní, sóló-fèré (7=5+2), sólómá-sàxán (8=3+5), sólómá-náání (9=4+5)
Herero: oimwe (1), ombari (2), ondatu (3), oine (4), ondano (5), ohamb-oumwe (6=5+1), ohamb-ombari (7=5+2), ohamb-ondatu (8=5+3), omuvyu (9)
Makua: mosa (1), pili (2), tharu (3), sheshe (4), thanu (5), thanu na mosa (6 = 5+1), thanu na pili (7), thanu na tharu (8), thanu na sheshe (9) en fulani / peul47 (langue nigéro-congolaise): goo (1), zizi (2), tati (3), nayi (4), joyi (5), jee-gom (6 = 5+1), jee-zizi (7), je-tati (8), je-nayi (9)
Chichewa / chiwa: chimodzi (1), ziwiri (2), zitatu (3), zinayi (4), zisanu (5), zisanu n’chimodzi (6 = 5+1) zisanu n’ziwiri (7), zisanu n'zitatu (8), zisanu n'zinayi (9)
Supyire: nìŋkìn (1), shùùnì (2), tàànrè (3), sìcyἑἑrè (4), kaŋkuro (5), baa-nì (6 = 5+1), baa-shùùnì (7 = 5+2), baa-tàànrè (8 = 5+3), baa-rìcyἑἑrè (9 = 5+4)
Vai: dóndo(1), féra (2), ságba (3), náni (4), sōru (5), sūn-dóndo (6=5+1), sum-féra (7=7+2), sūn-ságba (8=5+3), sūn-náni (9=5+4).
Nu gbaya: kpɔk (1), yiitoo (2), taar(3), naar (4), mɔɔrɔ (5), mɔɔrɔ ɗoŋ kpɔk (6=5+1), mɔɔrɔ ɗoŋ yiito (7=5+2), mɔɔrɔ ɗoŋ taar (8=5+3), mɔɔrɔ ɗoŋ naar (9=5+4)
Sherbro: buul (1), ting (2), ra (3), yol (4), men (5), men-buul (6=5+1), men-ting (7=5+2), men-ra (8=5+3), men-yol (9=5+4) en laalaa: wíinó (1), kanak (2), kaahaay (3), niikiis (4), yítus (5), yítus na wíinó (6=5+1), yítus na kanak (7=5+2), yítus na kaahaay (8=5+3), yítus na niikis (9=5+4) 50 en bambara (famille mandé)
Lote: éllé (1), nai (2), mol (3), hénél (4), limé (5), limé pe ratele éllé (6), limé pe ratele nai (7), limé pe ratele mol (8), limé pe ratele hénél (9)
Ronga : dha (1), zhua (2), telu (3), wutu (4), lima (5), lima esa (6=5+1), lima-zhua (7), zhuam-butu (8), taraesa (9)
Wandamen 57: siri (1), muandu (2), toru (3), at (4), rim (5), rim e siri (6 = 5+1), rim e muandu (7 = 5+2), rim e toru (8 = 5+3), rim e at (9 = 5+4)
Nyelâyu 58: pwa-laic (1), pwa-du (2), pwa-jen (3), pwa-lavaac (4), pwa-nem (5), pwanem nua pwalaix (6=5+1), pwanem nua pwadu (7=5+2), pwanem nua pwajen (8=5+3), pwanem nua pwalavaac (9=5+4)
Sobei: tes (1), daidu (2), tou (3), fau (4), dim (5), dim-tes (6=5+1), dim-daidu (7=5+2), dim-tou (8 = 5+3), dim-fau (9=5+4) En sio 60: taitu (1), rua (2), ŋato (3), ŋapa (4), lima (5), lima kanaŋo taitu (6=5+1), lima kanaŋo rua (7=5+2), lima kanaŋo ŋato (8=5+3), lima kanaŋo ŋapa (9=5+4)
Efaté du sud (Vanuatu): i-skei (1), i-nru (2), i-tul (3), i-fat (4), i-lim (5), i-ɪa-tes (6=5+1), i-ɪa-ru (7), i-ɪa-tul (8), i-ɪ-fot (9)
Maskelynes: e-sua (1), e-ru (2), i-tor (3), i-vat (4), e-rim (5), (e-)malve-tes (6), (e-)məlev-ru (7), (e-)məlev-tor (8), (e-)məlev-pat (9)
Lenakel (Vanuatu): karena (1), kiu (2), kesil (3), kuver (4), katilum (5), katilum karena (6=5+1), katilum kiu (7=5+2), katilum kesil (8=5+3), katilum kuver (9=5+4)
Paama: tai (1), elu (2), etel (3), ehat (4), elim (5), lahi-tai (6=5+1), lau-lu (7=5+2), lau-tel (8=5+3), lau-hat (9=5+4)
Nume: tuwal (1) l-ru (2), i-tol (3), i-ßet (4), tißi-lim (5) leße-te (6=5+1), leße-ru (7=5+2), leße-tol (8=5+3), leße-ßet (9=5+4)
Tupinambá: oîepé (1), mokõî (2), mosapyr (3), irundyk (4), po (5), pó-oîepé (6=5+1), pó-mokõi (7=5+2), pó-mosapyr (8=5+3), pó-irundyk (9=5+4)
Old Tupi: poteī (6), pokōi (7), poapy (8), porundy (9), kuā (10), kuateī (11), kuakōi (12), kuapy (13), kuarundy (14), kuapo (15), kuapoteī (16), mokoikuā (20), mokoikuā poapy (28), porundyma porundysā porundykuā porundy (9.999)
Günün a küna: chüyü (1), p'üch (2), gütr (3), maalü/maala (4), katr (5) [mano], katrchüyü (5+1=6), katrp'üch (5+2=7), katrgütr (5+3=8), katrmaalü (5+4=9), tsamatskü (10) [ambas manos]
Nheengatu: iepé (1), mukũi (2), mukũi (3), irundi (4), iepe-pu (5), pu-iepé (6=5+1), pu-mukũi (7=5+2), pu-musapíri (8=5+3), pu-irundi (9=5+4)
Pemon: töukin (1), sakü'ne (2), seutawö’ne (3), saköröro’ne (4), mia töukin (5, "hand one"), mia töukin töukin (6 = 5+1), mia töukin sakü’ne (7=5+2), mia töukin seutawö’ne (8=5+3), mia töukin saköröro’ne (9 = 5+4)
Paresi: hatita (1), hinama (2), hanama (3), zalakakoa (4), hakake (5, "one hand"), 6 (5+1), 7 (5+2)
Arawak: aba (1), bian (2), kabyn (3), bithi (4), (a)badakhabo (5), (a)ba-thian (1+5), bian-thian (7=2+5), kabyn-thian (8=3+5), bithi-thian (9=4+5)
Zuni: dobinde (1), kwili (2), ha'i (3), a:wide (4), apde (5), doba-lekk'ya (6 = 1+5), kwilelekkya (7=2+5), ha'elekk'ya (8=3+5), dena-lekk'ya
Choctaw: achvffa (1), tuklo (2), tuchena (3), ushta (4), talhapi (5), hvnnali (6), on-tuklo (7=5+2), on-tuchena (8=5+3), chakkali (9)
Mikasuki: łáàmen (1), toklan (2), tocheenan (3), shéetaaken (4), chahkeepan (5), ee-paaken (6), kola-paaken (7=2+5), toshna-paaken (8=3+5), oshta-paaken (9)
Garifuna: 70 = 3x20+10 (ürüwa wein disi), 90 = 4x20+10 (gádürü wein disi)
Nahuatl: ce (1), ome (2), ëyi (3), nawi (4), macuilli (5), chicu-ace (6 = 5+1), chic-ome (7), chicu-ëyi (8), chico-nawi (9)
Sumo (Ulwa): aslah (1), bû (2), bâs (3), arungka (4), singka (5), ting as kau as (6 = 5+1), ting as hau bû (7), ting as kau bâs (8), ting as kau arungka (9)
Kiliwa: msig (1), juwak (2), jmi’k (3), mnak (4), salchipam (5), msigl paayp (6=1+5), juwakl paayp (7=5+2), jmi’kl paayp (8=3+5), msigl tmat (9)
Quetzaltepec 76: tu’uk, määjtsk, tëkëëk, taxk (4), mëkooxk (5), të-tuujk (6=1+5), wx-tuujk (7=2+5), tuk-tuujk (8=3+5), tax-tuujk (9=4+5)
Kalina 77: òwin (1), oko (2), oruwa (3), okupàen (4), ainatone (5), òwin-tòima (6), oko-tòima (7), oruwa-tòima (8), okupàen-tòima (9) en ojibwé 78: bezhig (1), niizh (2), niswi (3), naanan (5), [n]ingodwaaswi (6), niizh-waaswi (7 = 2+5), [n]ish-waaswi (8=3+5), zhaangaswi (9)
Montagnais (innu-aimum) 79: peik (1), nish (1), nisht (3), neu (4), patetat (5), kutu-asht (6), nishu-asht (7=2+5), nishu-aush (8=3+5), peikushteu (9)
Mohican: nuqut (1), nis (2), shwi (3), yáw (4), nupáw (5), qut-ôsk (6=1+5), nis-ôsk (7=2+5), shw-ôsk (8=3+5), pásukokun (9)
Cheyenne: na’êstse (1), neše (2), na’he (3), neve (4), noho (5), naesoh-to (6=1+5), nésoh-to (7=2+5), na’noh-to (8=3+5), sóoh-to (9)
Atikamekw 82: peikw (1), nicw (2), nicto (3), new (4), niaran (5), nikot-waso (6), nico-waso (7=2+5), nic-waso (8=3+5), cakitato (9)
Tlingit: (tléil) (1), tléix' (2), déix̱ (3), nás'k (4), daax'oon (5), keijín (6), tlei-dooshú (7=2+5), dax̱a-dooshú (8=3+5), nas'ga-dooshú (9=4+5)
Xa islakala: n̓áukʷ (1), má՚ elaukʷ (2), yúdukʷ (3), mukʷ (4), sek̕áukʷ (5), q̓etl̕áukʷ (6), malh-áus (2+5), yudexʷ-áus (8=3+5), muw-áus (9=4+5)
Groendlandais: ataaseq (1), marluk (2) pingasut (3), sisamat (4), tallimat (5), arfinillit (6), arfineq marluk (7=5+2), arfineq pingasut (8=5+3), qulingiluat (9=5+4)
↑ Levi Leonard Conant: The Number Concept .Project Gutenberg (englisch)
↑ Closs, Michael P. (1986). Native American Mathematics. ISBN 0-292-75531-7
↑ Georges de Créqui-Montfort et Paul Rivet, « Linguistique bolivienne. La langue Saraveka », Journal de la société des américanistes, nos 10-2, 1913, p. 497-540 (lire en ligne), p.540
↑ (en) Jan Wohlgemuth et Michael Cysouw, Rethinking Universals : How Rarities Affect Linguistic Theory, Walter de Gruyter, 2010 (présentation en ligne [archive])
Wohlgemuth et Cysouw 2010, p. 32
