Beşgensel sayı

Bir beşgensel sayı, üçgensel veya karesel sayıların beşgene uyarlanmış halidir. n'inci beşgensel sayı p_n, her kenarı 1'den n'ye kadar noktadan oluşan ve bir köşesi ortak olan (n - 1) beşgenin birbirinden farklı noktalarının sayısına eşittir.

${\displaystyle n\geq 1}$ için şu formül ile gösterilir:

${\displaystyle p_{n}={\frac {n(3n-1)}{2}}={\frac {3n^{2}-n}{2}}={n \choose 1}+3{n \choose 2}}$

İlk bazı beşgensel saylar şöyledir:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (OEIS'de A000326 dizisi).

Genelleştirilmiş beşgensel sayılar p_n'de n için 0, 1, 2, 3... yerine 0, 1, -1, 2, -2, 3... yazılırsa elde edilir.

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS'de A001318 dizisi)

Genelleştirilmiş beşgensel sayılar, sayıların pozitif tam sayıların toplamı halinde yazılabilme sayısını gösteren partition fonksiyonu ${\displaystyle p(n)}$'in indirgenmesinde görülür:^[1]

${\displaystyle \sum _{0\leq p_{m}\leq n}{(-1)^{m}p(n-p_{m})}=0=p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)...}$

Bir x doğal sayısının beşgensel olup olmadığını anlamak için

${\displaystyle n={\frac {1+{\sqrt {1+24x}}}{6}}}$

sayısının bir doğal sayı olup olmadığına bakılabilir. Eğer n bir doğal sayıysa x, n'inci beşgensel sayıdır.

Beşgensel sayılar için üretim fonksiyonu

${\displaystyle {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=x+5x^{2}+12x^{3}+...}$

şeklinde yazılabilir.^[2]

• Her beşgensel sayı, bir üçgensel sayının 1/3'üdür.
• Her pozitif tam sayı 5 tane beşgensel sayı kullanılarak yazılabilir.
• 4 adet beşgensel sayı kullanılarak yazılamayan sadece 6 pozitif tam sayı vardır:^[2]

9, 21, 31, 43, 55 ve 89 (OEIS'de A133929 dizisi)

Bazı beşgensel sayılar aynı zamanda tam karedirler. İlk tam kare beşgensel sayılar şunlardır:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... (OEIS'de A036353 dizisi)

• Üçgensel sayı
• Karesel sayı
• Altıgensel sayı
• Çokgensel sayılar