İkinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemler, derecesi 2 olan polinomların oluşturduğu denklemlerdir. Bu denklemlerin genel formu aşağıdaki gibidir

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,}$

x değişken yani bilinmeyendir ve a, b katsayılar (a ≠ 0 şartıyla), c ise sabit sayıdır. Bu denklemler çarpanlara ayırma, kareye tamamlama ve diskriminant yöntemleri ile çözülürler.

Bu yöntem, denklem kolayca çarpanlarına ayrılabiliyorsa tercih edilir. Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Örneğin

${\displaystyle x^{2}-8x+12=0}$

denkleminde çarpımları 12, toplamları -8 olan sayılar bulunur. Bu sayılar -6 ve -2 dir. Denklem şu şekilde yeniden yazılır:

${\displaystyle (x-6)(x-2)=0}$.

Buradan x=6 ve x=2 bulunur.

Bu yöntemi anlamak için aşağıdaki eşitliği bilmek gerekir,

${\displaystyle x^{2}+2xh+h^{2}=(x+h)^{2}.\,\!}$

Denklemimiz şu şekildeydi

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}$

x²'nin katsayısını 1 yapmak için denklemi a'ya bölelim (ilk başta a≠0 aldığımız için bu işlem yapılabilir)

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0,\,\!}$

ya da

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.}$

Kareye tamamlamak için ortadaki terimin katsayısının yarısının karesi sabit sayıyı oluşturmalıdır. Bu yüzden her iki tarafa gereken ifadeyi ekleyelim

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {1}{2}}{\frac {b}{a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {b}{a}}\right)^{2},\!}$

şimdi sol taraf kare şeklinde yazılmaya hazır

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}.\,\!}$

Şimdi sağ tarafın paydasını eşitleyelim

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$

Her iki tarafın da karekökünü alalım. Karekökün özelliğinden dolayı ifade ± şeklinde çıkar

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}.}$

x'i çekersek

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$ elde edilir.

Yukarıda bulunan ifadedeki ${\displaystyle b^{2}-4ac}$'ye denklemin diskriminantı ya da deltası denir. Diskriminant denklem hakkında fikir edinmemizi sağlar

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.\,}$

Eğer,

${\displaystyle \Delta >0}$ ise denklemin iki gerçek kökü vardır.

${\displaystyle \Delta <0}$ ise gerçek kök yoktur, karmaşık kök vardır.

${\displaystyle \Delta =0}$ ise tek bir gerçek kök denir, kimi zaman buna çift katlı kök de denir.