Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

 

Импульс

Импульс
Размерность LMT−1
Единицы измерения
СИ кг·м/с
СГС г·см/с
Примечания
векторная величина

И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

В классической механике импульс тела равен произведению массы этого тела на его скорость направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

В релятивистской физике импульс вычисляется как

где  — скорость света в вакууме; в пределе малых формула переходит в классическую.

Важнейший физический закон, в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона:

здесь  — время,  — сила, приложенная к телу.

В записи через импульс (в отличие от  — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.

В самом общем виде, определение звучит: импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

Понятие «импульс» имеет обобщения в теоретической механике, для случая наличия электромагнитного поля (как для частицы в поле, так и для самого поля), а также в квантовой механике.

История появления термина

Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?

Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он предположил, что сохраняется количество движения не только одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1678 году использовали её для исследования абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и «минус»[1]. В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Слово "импульс" произошло от латинского impulsus (в переводе "толчок"[2]) и первоначально означало импульс силы Ft [3]. Такое же значение имеет слово impulse в английском языке. Но в немецком языке слово "Impuls" стало обозначать количество движения mv. В современной русской терминологии словом "импульс" обозначается количество движения.

Формальное абстрактное определение

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (то есть инвариант относительно трансляций).

Из свойства однородности пространства следует независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства она помещена. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины, которую и называют импульсом.

В разных разделах физики применительно к реальным задачам даются более конкретные определения импульса, с которыми можно работать и производить расчёты.

Определения импульса тела в механике

Классическая механика

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

Соответственно, величина называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Импульс тела конечных размеров находится путём его мысленного разбиения на малые части, которые можно считать материальными точками, с последующим интегрированием по ним:

Стоящее под интегралом произведение называют плотностью импульса ( — просто плотность).

Релятивистская механика

В релятивистской механике импульсом системы материальных точек называется величина:

где  — масса -й материальной точки,  — её скорость.

Также вводится четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки массой определяется как:

На практике часто применяются соотношения между массой , импульсом и энергией частицы:

Свойства импульса

  • Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему[4].
  • Инвариантность абсолютной величины импульса по отношению к повороту ИСО[4]. При этом в общем случае при смене ИСО инвариантности импульса или его модуля нет ни в релятивистской механике, ни в классическом пределе.
  • Причиной изменения импульса со временем является сила (по второму закону Ньютона, ).
  • Сохранение. Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени: (см. статью Закон сохранения импульса).

Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим:

Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые и в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).

Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея[4]. Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно для получения математического выражения импульса[5][6].

При наличии электромагнитного взаимодействия между материальными точками третий закон Ньютона может не выполняться — и тогда сохранения суммы импульсов точек не будет. В таких случаях, особенно в релятивистской механике, удобнее включать в понятие «система» не только совокупность точек, но и поле взаимодействия между ними. Соответственно, будут учтены не только импульсы составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия. При этом вводится величина — тензор энергии-импульса, которая в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Что касается 4-импульса, то для системы не взаимодействующих материальных точек их совокупный 4-импульс равен сумме по всем частицам. При наличии взаимодействия такое суммирование теряет смысл.

Обобщённый импульс

В теоретической механике в целом

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости:

Обобщенный импульс, как и не обобщённый, может обозначаться буквой обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.

Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность  — длина, то будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой выступает угол (величина безразмерная), то обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа

Если обобщённая координата — это обычная координата (и тогда её производная по времени — просто скорость), а внешних полей нет, обобщённый импульс тождественен обычному. Так, для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид:

, отсюда: .

Для частицы в электромагнитном поле

В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно Соответственно, обобщённый импульс частицы равен (в системе СИ):

где  — векторный потенциал электромагнитного поля,  — заряд частицы; в выражении для фигурировал также скалярный потенциал . Этот импульс, обозначенный и связанный с обычным как , иначе именуется каноническим, он сохраняется при наложении магнитного поля[7].

Импульс электромагнитного поля

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму. Для случая вакуума:

(в системе СИ),

а для среды заменяется на скорость света в данной среде. Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление как давление электромагнитного излучения. Здесь и напряжённость электрического и напряжённость магнитного поля.

Импульс в квантовой механике

Определение через оператор

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с каноническим (при отсутствии магнитного поля — обычным) импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

,

где  — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам -ой частицы.

Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

.

Для замкнутой системы (потенциальная энергия ) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает канонический импульс и длину волны де Бройля рассматриваемого объекта[7]. Акцентуация того, что импульс «канонический», зачастую избыточна, так как ситуация с присутствием магнитного поля в данном контексте анализируется редко (ниже также подразумевается, что поля нет).

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны

,

где  — постоянная Планка; этот же символ в перечёркнутом виде () обозначает редуцированную постоянную Планка ().

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью , модуль импульса равен (где  — масса частицы), и

.

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как

,

где  — волновой вектор.

Как и в классической механике, в квантовой имеет место сохранение импульса в изолированных системах[8][9]. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс записывается «классически» как , а если проявляются волновые свойства, действует[10] связь . При этом, как и в классической механике, сохранение импульса выступает следствием симметрии относительно сдвигов по координатам[11].

Импульс в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока в соответствии с методом О. Рейнольдса получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса[12].

Если в согласии с методом Рейнольдса представить где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

где  — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»[12]).

Импульсное представление в квантовой теории поля

В квантовой теории поля часто употребляется импульсное представление на основе использования преобразования Фурье. Его преимуществами являются: удобство описания физических систем при помощи энергий и импульсов, а не при помощи пространственно-временных координат; более компактная и наглядная структура динамических переменных[13].

См. также

Примечания

  1. Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. — М.: Наука, 1974.
  2. Дворецкий И.Х. Латинско-русский словарь М.,1976
  3. Хвольсон О.Д. Курс физики Том 1. М.-Л.,1933
  4. 1 2 3 Айзерман, 1980, с. 49.
  5. Айзерман, 1980, с. 54.
  6. Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» Архивная копия от 1 января 2015 на Wayback Machine // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
  7. 1 2 Г. А. Миронова, Н. Н. Брандт, А. М. Салецкий, О. П. Поляков, О .О. Трубачев Введение в квантовую физику в вопросах и задачах. М.: Физфак МГУ, 2012. – 320 с., см. раздел «Канонический импульс» Архивная копия от 21 декабря 2019 на Wayback Machine.
  8. Перкинс Д.[англ.] Введение в физику высоких энергий. — М., Мир, 1975. — c. 94
  9. Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — С. 276. — 670 с.
  10. Фейнман Р. Ф. ]. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — С. 194. — 440 с. — ISBN 5-354-00699-6.
  11. Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — С. 183. — 367 с.
  12. 1 2 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
  13. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М., Наука, 1980. — с. 25

Литература

Kembali kehalaman sebelumnya


Index: pl ar de en es fr it arz nl ja pt ceb sv uk vi war zh ru af ast az bg zh-min-nan bn be ca cs cy da et el eo eu fa gl ko hi hr id he ka la lv lt hu mk ms min no nn ce uz kk ro simple sk sl sr sh fi ta tt th tg azb tr ur zh-yue hy my ace als am an hyw ban bjn map-bms ba be-tarask bcl bpy bar bs br cv nv eml hif fo fy ga gd gu hak ha hsb io ig ilo ia ie os is jv kn ht ku ckb ky mrj lb lij li lmo mai mg ml zh-classical mr xmf mzn cdo mn nap new ne frr oc mhr or as pa pnb ps pms nds crh qu sa sah sco sq scn si sd szl su sw tl shn te bug vec vo wa wuu yi yo diq bat-smg zu lad kbd ang smn ab roa-rup frp arc gn av ay bh bi bo bxr cbk-zam co za dag ary se pdc dv dsb myv ext fur gv gag inh ki glk gan guw xal haw rw kbp pam csb kw km kv koi kg gom ks gcr lo lbe ltg lez nia ln jbo lg mt mi tw mwl mdf mnw nqo fj nah na nds-nl nrm nov om pi pag pap pfl pcd krc kaa ksh rm rue sm sat sc trv stq nso sn cu so srn kab roa-tara tet tpi to chr tum tk tyv udm ug vep fiu-vro vls wo xh zea ty ak bm ch ny ee ff got iu ik kl mad cr pih ami pwn pnt dz rmy rn sg st tn ss ti din chy ts kcg ve 
Prefix: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9