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Em matemática, uma função constante é uma função cujo valor (saída da função) é o mesmo para todos os valores de entrada.^[1][2][3] Por exemplo, a função ${\displaystyle y(x)=4}$ é uma função constante porque o valor de ${\displaystyle y(x)}$ é ${\displaystyle 4}$ independentemente do valor de entrada ${\displaystyle x}$ (ver imagem).

Como uma função com valor real de um argumento com valor real, uma função constante tem a forma geral ${\displaystyle y(x)=c}$ ou apenas ${\displaystyle y=c}$.^[4] Por exemplo, a função ${\displaystyle y(x)=2}$ ou apenas ${\displaystyle y=2}$ é a função constante específica onde o valor de saída (imagem) é ${\displaystyle c=2}$ para qualquer que seja o valor do domínio. Ou seja, ${\displaystyle y(0)=2,y(-2,7)=2,y(\pi )=2}$ e assim por diante. Não importa qual valor de ${\displaystyle x}$ seja inserido, a saída será ${\displaystyle 2}$. O domínio desta função é o conjunto de todos os números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$. O conjunto imagem desta função é apenas ${\displaystyle \{2\}}$.

A função constante pode ser entendida como uma função polinomial de grau zero, sendo um caso particular da função de primeiro grau (função afim) ao assumir que o coeficiente angular ${\displaystyle m}$ é nulo na equação reduzida ${\displaystyle y=mx+b}$. Sua forma geral é ${\displaystyle f(x)=k}$, onde ${\displaystyle k}$ é uma constante real. Isso acontece porque apesar de ${\displaystyle f(x)}$ ter ${\displaystyle x}$ como valor de entrada, a variável independente ${\displaystyle x}$ é indiferente na definição da função. Admitindo ${\displaystyle y=f(x)}$, podemos dizer, que "${\displaystyle y}$ não está em função de ${\displaystyle x}$", explicitamente.^[5]

Uma função constante ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ definida como ${\displaystyle f(x)=k,\ \forall x\in \mathbb {R} }$, sempre cruzará o eixo das ordenadas (eixo ${\displaystyle y}$) num ponto ${\displaystyle (0,k)}$, entretanto, por ser paralela ao eixo horizontal, tal função não necessariamente intercepta o eixo das abscissas (eixo ${\displaystyle x}$). A função ${\displaystyle y=k}$ terá raízes reais (cruzará o eixo das abscissas) apenas se ${\displaystyle k=0}$, caso especial onde a reta ${\displaystyle f(x)}$ coincide com o eixo ${\displaystyle x}$, tendo assim, infinitas soluções (dado que o domínio é um conjunto infinito).

Sejam ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ funções reais e ${\displaystyle f(x)}$ uma função constante, o sistema formado pelas duas funções terá pelo menos uma solução somente se ${\displaystyle g(x)}$ não for uma função constante ou, caso seja, deverá ser definida como ${\displaystyle g(x)=f(x)}$.

Para funções entre conjuntos pré-ordenados, as funções constantes preservam e invertem a ordem; inversamente, se f preserva e inverte a ordem, e se o domínio de f é um reticulado, então f deve ser constante.

• Toda função f constante cujo domínio e contradomínio são o mesmo conjunto X é um zero à esquerda do monóide de transformação completo em X, o que implica que f também é idempotente.
• Tem inclinação/gradiente zero .
• Toda função constante entre espaços topológicos é contínua.
• Uma função constante fatora o conjunto de um ponto, o objeto terminal na categoria de conjuntos. Esta observação é fundamental para a axiomatização da teoria dos conjuntos de F. William Lawvere, a Teoria Elementar da Categoria dos Conjuntos (ETCS).^[6]
• Para qualquer Y não vazio, todo conjunto X é isomórfico ao conjunto de funções constantes em ${\displaystyle Y\rightarrow X}$ . Para qualquer Y e cada elemento x em X , existe uma função única ${\displaystyle x=Y\rightarrow X}$de tal modo que ${\displaystyle x(y)=x}$ para todos ${\displaystyle y\in Y}$. Por outro lado, se uma função ${\displaystyle f:Y\rightarrow X}$satisfaz ${\displaystyle f(y)=f(y')}$para todos ${\displaystyle y,y'\in Y}$, ${\displaystyle f}$ é por definição uma função constante.
  • Como corolário, o conjunto de um ponto é um gerador na categoria de conjuntos.
  • Cada conjunto ${\displaystyle X}$é canonicamente isomórfico ao conjunto de funções ${\displaystyle X^{1}}$ , ou conjunto hom ${\displaystyle hom(1,X)}$ na categoria de conjuntos, onde 1 é o conjunto de um ponto. Por causa disso, e da adjunção entre produtos cartesianos e hom na categoria de conjuntos (portanto, há um isomorfismo canônico entre funções de duas variáveis ​​e funções de uma variável avaliada em funções de outra variável (única), ${\displaystyle hom(XxY,Z)\simeq hom(X(hom(Y,Z))}$ categoria de conjuntos é uma categoria monoidal fechada com o produto cartesiano de conjuntos como produto tensorial e o conjunto de um ponto como unidade tensorial. Nos isomorfismos ${\displaystyle \lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho }$ natural em X , os unitores esquerdo e direito são as projeções ${\displaystyle p_{1}p_{2}}$ os pares ordenados ${\displaystyle (*,x)e(x,*)}$ e respectivamente ao elemento, onde ${\displaystyle *}$ é o ponto único no conjunto de um ponto.

Uma função em um conjunto conectado é localmente constante se e somente se for constante.

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