Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências (Encontre fontes: Google (N • L • A • I • WP refs)  • ABW  • CAPES). (junho de 2010)

Em matemática, a noção de limite é usada para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito ${\displaystyle (+\infty )}$. Os limites são usados no cálculo diferencial e integral e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas, continuidade de funções, soma de Riemann, integrais definidas e integrais impróprias.

Seja ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ uma sequência de números reais. A expressão: $${\displaystyle \lim x_{i}=L}$$ significa que, para índices ${\textstyle i}$ suficientemente grandes, os termos ${\textstyle x_{i}}$ da sequência estão arbitrariamente próximos do valor ${\textstyle L.}$ Neste caso, dizemos que o limite da sequência é ${\textstyle L.}$

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de ${\textstyle L}$ os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice ${\textstyle i}$, os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de ${\textstyle L}$ quanto solicitado.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de ${\textstyle L}$ (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto ${\textstyle (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$ com ${\textstyle \epsilon >0}$, o desafiado deve exibir um número natural ${\displaystyle N}$ tal que ${\textstyle \forall i}$ com ${\textstyle i>N}$ tem-se que ${\textstyle x_{i}\in (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$.

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:^[1] $${\displaystyle \forall \epsilon >0,~\exists N\in \mathbb {N} ;\forall i\in \mathbb {N} \land ~i\geq N\Rightarrow |x_{i}-L|<\epsilon }$$

Suponhamos que ${\textstyle f(x)}$ é uma função real e que ${\textstyle c}$ é um número real. A expressão: $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$$ significa que ${\textstyle f(x)}$ se aproxima tanto de ${\textstyle L}$ quanto quisermos, quando se toma ${\textstyle x}$ suficientemente próximo de ${\textstyle c}$.^[2][3] Quando tal acontece dizemos que o limite de ${\textstyle f(x)}$, à medida que ${\textstyle x}$ se aproxima de ${\textstyle c}$, é ${\textstyle L}$.

Note-se que esta definição não exige (ou implica) que ${\textstyle f(c)=L}$, nem sequer que ${\textstyle f(x)}$ esteja definida em ${\textstyle c}$. Agora, no caso de ${\textstyle f(c)}$ existir (estar definido) e $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}$$ diz-se que ${\textstyle f(x)}$ é contínua no ponto ${\textstyle c}$.

Consideremos $${\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}}$$ à medida que ${\textstyle x}$ se aproxima de ${\textstyle 2}$, i.e busquemos calcular $${\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=\lim _{x\to 2}{\frac {x}{x^{2}+1}}}$$ Neste caso, ${\textstyle f(x)}$ está definida em ${\textstyle 2}$ e é igual ao seu limite: ${\textstyle 0,\!4,}$ vejamos:

f(1,9)	f(1,99)	f(1,999)	f(2)	f(2,001)	f(2,01)	f(2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	${\displaystyle \rightarrow }$ 0,4 ${\displaystyle \leftarrow }$	0,3998	0,3988	0,3882

À medida que ${\textstyle x}$ aproxima-se de ${\textstyle 2}$, ${\textstyle f(x)}$ aproxima-se de ${\textstyle 0,\!4}$ e consequentemente temos $${\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0,\!4}$$ Ou seja, ${\textstyle f(x)}$ é contínua no ponto ${\textstyle 2}$.

Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua): $${\displaystyle g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{se }}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{se }}x=2.\end{matrix}}\right.}$$ O limite de ${\textstyle g(x)}$ à medida que ${\textstyle x}$ se aproxima de ${\textstyle 2}$ é ${\textstyle 0,\!4}$ (tal como no exemplo acima), mas $${\displaystyle g(2)=0\neq \lim _{x\to 2}g(x)}$$ e consequentemente ${\textstyle g(x)}$ não é contínua em ${\textstyle x=2}$.

Consideremos, agora, mais o seguinte exemplo de uma função descontínua: $${\displaystyle h(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}}$$ Apesar de ${\textstyle h(x)}$ não estar definida em ${\textstyle x=1}$, pode-se demonstrar (por exemplo, via regra de l'Hôpital) que $${\displaystyle \lim _{x\to 1}h(x)=2}$$

h(0,9)	h(0,99)	h(0,999)	h(1.0)	h(1,001)	h(1,01)	h(1,1)
1,95	1,99	1,999	${\displaystyle \rightarrow }$ não está definido ${\displaystyle \leftarrow }$	2,001	2,010	2,10

Observa-se que ${\textstyle x}$ pode ser tomado tão próximo de ${\textstyle 1}$ quanto quisermos, sem no entanto ser igual a ${\textstyle 1}$, donde infere-se que o limite de ${\textstyle f(x)}$ é ${\textstyle 2}$.^[3]

Sejam ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ um intervalo de números reais, ${\displaystyle a\in I}$ e ${\displaystyle f:I-\{a\}\to \mathbb {R} }$ uma função real definida em ${\displaystyle I-\{a\}.}$ Escrevemos $${\displaystyle A=\lim _{x\to a}f(x)}$$ quando para qualquer que seja ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe um ${\displaystyle \delta >0}$ tal que para todo ${\displaystyle x\in I,}$ satisfazendo ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta ,}$ vale ${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon }$.^[1] Ou, usando a notação simbólica:

$${\displaystyle A=\lim _{x\to a}f(x)\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in I;0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon }$$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 2}(3x+1)=7}$ Supondo um ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle |(3x+1)-7|<\epsilon }$

${\displaystyle |3x-6|<\epsilon }$

Dividindo por 3 em ambos os lados:

${\displaystyle |x-2|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

O que prova o limite com ${\displaystyle \delta ={\frac {\epsilon }{3}}>0}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}(1+x)=2}$

Supondo um ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle |1+x-2|<\epsilon }$

${\displaystyle |x-1|<\epsilon }$

E isso completa a prova com ${\displaystyle \delta =\epsilon >0}$

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. A noção de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x₀ arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ e imaginando ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: ${\displaystyle f(0)=2.0+1}$ que nos dá: ${\displaystyle f(0)=0+1=1,}$ ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

• Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
• Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
• Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
• Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ nos reais, calcular o limite da função ${\displaystyle f}$ quando ${\displaystyle x\to 1.}$ Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função ${\displaystyle f(x)}$ descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por ${\displaystyle |x-a|,}$ não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte:^[4]

Seja ${\displaystyle f}$ uma função do tipo:

$${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$$$${\displaystyle x\longmapsto f(x)=z}$$

Em que ${\displaystyle x}$ é um vector com ${\displaystyle n}$ coordenadas e ${\displaystyle z}$ um número real. Se ${\displaystyle a}$ for um vector com ${\displaystyle n}$ coordenadas, então:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left(x\in D\;\wedge 0<d(x,a)<\delta \right)\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon }$$

Em que ${\displaystyle d(x,a)=\|x-a\|}$ é a função distância.

Uma função do tipo:

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$$$${\displaystyle (x,y)\longmapsto f(x,y)=z}$$

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$$$${\displaystyle (x,y)\longmapsto f(x,y)=xy}$$

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=L}$$

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

• o limite através do eixo dos ${\displaystyle yy,}$ ou seja,

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=L}$$

Nesse caso o limite L é zero.

• o limite através do eixo dos ${\displaystyle xx,}$ ou seja,

$${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=L}$$

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}xy=0}$$

Ou seja, provar que

$${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<\|(x,y)-(0,0)\|<\delta \right)\Longrightarrow |xy-0|<\epsilon }$$$${\displaystyle \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \right)\Longrightarrow |xy|<\epsilon }$$

Vamos procurar escrever ${\displaystyle \delta }$ em função de ${\displaystyle \epsilon .}$

$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}}$$$${\displaystyle |xy|\leq \max\{|x|,|y|\}^{2}\leq x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}}$$

Se escolhermos ${\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }},}$ então, pela segunda desigualdade, ${\displaystyle |xy|<\delta ^{2}=\epsilon ,}$ o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$$$${\displaystyle (x,y)\longmapsto f(x,y)={xy \over (x^{2}+y^{2})}}$$

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

$${\displaystyle x=\left(\cos \alpha \right)t}$$

$${\displaystyle y=\left(\mathrm {sen} \,\alpha \right)t}$$

a função toma a forma

$${\displaystyle f(x,y)={\cos(\alpha )\mathrm {sen} \,(\alpha ) \over (\cos \alpha )^{2}+(\mathrm {sen} \,\alpha )^{2}}={\mathrm {sen} \,(2\alpha ) \over 2}}$$

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

O Wikilivro Cálculo (Volume 1) tem uma página intitulada Limites e Continuidade

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