L’aira es la mesura de l'estenuda d'ua susfàcia plana o corba. Es ua grandor fondamentau en matematicas e omnipresenta dens las sciéncias e las tecnicas, qui s'exprimeish en unitats de longor au carrat (lo mètre carrat dens lo Sistèma Internacionau). Dens lo lengatge corrent, lo mot susfàcia es sovent emplegat coma sinonime d'aira, maugrat que los dus tèrmes ajan sens distints : la susfàcia designa generaument la region geometrica mentre que l'aira designa la mesura numerica.

Segon las coneishenças actualas, los prumèrs metòdes de calcul d'aira son apareishuts pendent l'Antiquitat, en Egipte e en Mesopotamia^[1][2]. Èran motivats per besonhs practics com lo calcul de l'impòst, lo partatge de tèrras o la construccion de bastiments. Los Egipcians e los Babilonians coneishèvan formulas aprochadas tad estimar la superficia de figuras simplas com lo rectangle, lo triangle o lo disc. Lo papirus Rhind, datat deu sègle XVI abC, es un exemple d'aqueths sabers^[3]. Aqueras matematicas passèn en Grècia au cors deu millenari I abC on estón l'objècte d'ua formalizacion mei rigorosa^[4]. En particular, Eudoxos de Cnidos (408-355 abC) e Arquimèdes (287-212 abC) desvolopèn lo metòde d'exaustion qui consisteish a estimar l'aira d'ua figura geometrica complèxa en utilizar ua seguida de poligònes simples^[5]. Atau, dab aqueth metòde prefigurant lo calcul integrau, Arquimèdes obtienó ua valor aproximativa de π e calculè l'aira exacta de la parabòla^[6].

Lo metòde d'exaustion demorè un element centrau deu calcul d'aira pendent l'Edat Mejana e conservè lo son ròtle maugrat l'aparicion d'ua tecnica mei precisa, lo metòde deus indivisibles de Bonaventura Cavalieri (1598-1647)^[7][8]. Totun, a la fin deu sègle, lo calcul integrau, desvolopat independentament per Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), horní un quadre generau eficaç tà sistematizar lo calcul de las airas. En efèit, establí que l'aira d'ua region delimitada per ua corba d'eqüacion coneguda pòt estar calculada a partir de la primitiva de la foncion qui defineish aquera corba. Aquera invencion estó ua revolucion matematica que permetó de calcular precisament airas de formas arbitràriament complèxas^[9].

Puish, au començament deu sègle XX, lo matematician francés Henri Lebesgue (1875-1941) desvolopè ua teoria de la mesura que generalizè enqüera mei la nocion d'aira. La soa teoria permet de definir rigorosament l'aira d'ensembles geometrics generaus, comprés per figuras non tractablas dab lo calcul integrau classic^[10]. Constitueish uei lo fondament matematic de la nocion d'aira.

L'unitat de referéncia de la mesura de las airas dens lo Sistèma Internacionau es lo mètre carrat (m²), definit com l'aira d'un carrat d'un mètre de costat. Los multiples e sosmultiples corrents son lo centimètre carrat (1 cm² = 0,0001 m²) e lo quilomètre carrat (1 km² = 1 000 000 m²). Duas unitats tradicionaus religadas au Sistèma Internacionau son tanben sovent utilizadas en agricultura e en geografia : l'ara (1 a = 10 x 10 m = 100 m²) e l'ectara (1 ha = 100 x 100 m = 10 000 m²).

Los país anglosaxons utilizan enqüèra unitats pròprias au sistèma de mesura imperiau com lo pè carrat (square foot), l'iard carrat (square yard) e l'acre. Las valors d'aqueras unitats dens lo Sistèma Internacionau son respectivament egaus a ~ 0,093 m², ~ 0,836 m² e 4 047 m²^[11].

Au nivèu deu vocabulari, lo tèrme « aira » es preferit en matematicas. Lo tèrme « susfàcia » es meilèu utilizat en agricultura e dens documents practics.

Lo calcul integrau horní lo metòde generau tà calcular l'aira d'ua region plana delimitada per corbas d'eqüacions conegudas. L'aira de la region compresa enter ua corba e l'èish de las abscissas entre duas valors s'obtien atau en caculant l'integrala de la foncion qui defineish aquera corba sus aqueth intervalle. Aqueth metòde s'espandeish naturaument au calcul de las airas de susfàcias dens l'espaci, on conduseish a integralas doblas o de susfàcia.

La teoria de la mesura desvolopada per Henri Lebesgue a la debuta deu sègle XX generaliza aqueth apròchi a ensembles geometrics arbitraris. Defineish rigorosament çò qui significa « mesurar ua aira » per figuras qui pòden estar hèra irregularas e impossiblas a representat per poligònas o corbas. Dens lo cas de las figuras geometricas usuaus, aqueths metòdes generaus conduseishen a formulas simplas qui's pòt exprimir simplament a partir de las dimensions caracteristicas de la figura.

Airas de figuras planas

Figura	Esquèma	Formula
Carrat		${\displaystyle A=l^{2}}$ l : costat
Rectangle		${\displaystyle A=b\times h}$ b : basa, h : hautor
Parallelograma		${\displaystyle A=b\times h}$ b : basa, h : hautor
Lausange		${\displaystyle A={\frac {d_{1}\times d_{2}}{2}}}$ d₁ : diagonala majora, d₂ : diagonala menora
Trapèzi		${\displaystyle A={\frac {(B+b)\times h}{2}}}$ B : basa majora, b : basa menora, h : hautor
Triangle		${\displaystyle A={\frac {b\times h}{2}}}$ b : basa, h : hautor
Triangle eqüilaterau		${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}l^{2}}$ l : costat
Disc		${\displaystyle A=\pi r^{2}}$ r : rai
Corona circulara		${\displaystyle A=\pi (R^{2}-r^{2})}$ R : rai exterior, r : rai interior
Sector angular		${\displaystyle A={\frac {\theta r^{2}}{2}}}$ r : rai, θ : angle (en radians)
Ellipsa		${\displaystyle A=\pi ab}$ a : mieg-èish major, b : mieg-èish menor

Airas de figuras dens l'espaci

Figura	Esquèma	Formula
Esfèra		${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ r : rai
Calòta esferica		${\displaystyle A=2\pi rh}$ r : rai de l'esfera, h : hautor de la calòta
Cilindr		${\displaystyle A=2\pi rh}$ r : rai, h : hautor
Còne		${\displaystyle A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ r : rai de la basa, h : hautor

La mesura de las airas intervien en geografia e en cartografia tà qüantificar l'estenduda deus territòris, deus oceans, deus lacs o de las seuvas. En efèit, la superficia deus país, de las regions administrativas o de las airas protegidas es ua data fondamentau en geopolitica, en demografia e en ecologia. Dens aqueths domenis, la cartografia pausa problèmas especifics ligats a la representacion sus un plan de la susfàcia esferica de la Tèrra.

Dens las disciplinas tecnicas ligadas a l'engenheria, en particular en arquitectura e en urbanisme, lo calcul de las airas es egaument omnipresent (susfàcia abitabla d'un lotjament, empresa au sòu d'un bastiment, susfàcia de vias, superficia d'ua parcèla, etc.). Aqueras mesuras an ua valor juridica e economica dirècta, sustot dens lo calcul deus loguèrs, de las taxas fonsièras o de las autorizacions de bastir.

Au nivèu scientific, la nocion d'aira intervien dens de contèxtes nombrós. Per exemple, en biologia, la susfàcia foliara condiciona la fotosintèsi e la susfàcia corporau deus animaus jòga un ròtle centrau dens los escambis termics. Aute exemple, en fisica e en quimia, la susfàcia especifica d'un materiau es un paramètre determinant tà las reaccions quimicas eterogenèas, la catalisi o l'absorcion.

• (fr) Maurice Mashaal, « Les mathématiques », dins Philippe de la Cotardière (dir.), Histoire des Sciences. De l'Antiquité à nous jours, París, Tallandier, 2022.