공역

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수학에서 어떤 함수의 공역(共域, 영어: codomain, target set) 또는 공변역(共變域)은 이 함수의 값들이 속하는 집합이다.

수학에서, 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 집합 ${\displaystyle X}$의 모든 원소를 각각 집합 ${\displaystyle Y}$의 한 원소에 대응시키는 수학적 구조다. 이 경우, ${\displaystyle Y}$를 ${\displaystyle f}$의 공역이라고 한다. 반면, ${\displaystyle X}$는 ${\displaystyle f}$의 정의역이다.

모든 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f(x)=y}$인 ${\displaystyle x\in X}$가 존재할 필요는 없다. 즉, 공역의 모든 원소가 정의역의 상에 포함될 필요는 없다. 정의역의 상, 즉 ${\displaystyle f(x)=y}$인 ${\displaystyle x\in X}$가 존재하는 ${\displaystyle y}$들의 집합을 ${\displaystyle f}$의 치역이라고 한다. 치역은 항상 공역의 부분집합이지만, 치역이 공역과 같을 필요는 없다.

현대적 관점에서, 함수는 정의역과 공역 및 이들 사이의 관계(그래프)로 구성된다. 즉, 그래프가 같더라도 공역이 다르다면 두 함수를 다른 함수로 간주한다.

함수 ${\displaystyle f}$가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}}$

이 경우, ${\displaystyle f}$의 공역은 ${\displaystyle \mathbb {R} }$이지만, ${\displaystyle f}$의 치역은 ${\displaystyle [0,\infty )\subset \mathbb {R} }$이다.

함수 ${\displaystyle g}$가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )}$

${\displaystyle g\colon x\mapsto x^{2}}$

${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$는 같은 그래프를 가지지만, 현대적 관점에서는 두 함수는 같지 않다. 그 이유는 두 함수의 공역이 다르기 때문이다.

함수를 하나 더 정의해 보면 왜 그런지 알 수 있다.

${\displaystyle h\colon x\mapsto {\sqrt {x}}}$

정의역은 반드시 ${\displaystyle [0,\infty )}$로 정의되어야 한다.

${\displaystyle h\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} }$

이제 함수를 합성해 보자.

${\displaystyle h\circ f}$

${\displaystyle h\circ g}$

이 둘 중에서 어떤 합성 함수가 올바른 것인가?

밝혀진 대로, 첫 번째 것은 올바른 합성 함수가 아니다. ${\displaystyle f}$의 치역을 알지 못한다고 가정하면(확실히 알지 못하는 상황이라면 이렇게 가정해야 한다), 단지 치역이 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 일부가 된다는 것밖에 알지 못한다. 그러면 제곱근이 음수에 대하여 정의되지 않았기 때문에 문제가 생기게 된다. 이제 모순점이 생길 수 있다는 것을 알았다.

이것은 분명치 못하며, 이런 것은 피해야 한다. 함수의 합성은 따라서 오른쪽 함수의 공역과 왼쪽 함수의 정의역이 같아야 할 수 있다는 것이다. 치역은 함수를 합성하는 시점에서는 결정되지 않을 수 있는 것이기 때문이다.

공역은 전사 함수인지 아닌지에 대해서도 영향을 줄 수 있다. ${\displaystyle g}$는 전사 함수인데, ${\displaystyle f}$는 그렇지 않다. 공역은 함수가 단사 함수인지 아닌지에는 영향을 미치지 않는다.

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