数学 のとくに群 あるいは多元環 の表現論 における（代数的構造の）既約表現 （きやくひょうげん、英 : irreducible representation irrep ） とは、真の閉部分表現を持たない非零表現を言う。
複素内積 ベクトル空間 V 上の任意の有限次元ユニタリ表現 は、既約表現の直和 である。既約表現は常に直既約 である（すなわち、別の表現の直和にかくことができない）であり、この二つはしばしば混同されるが、例えば上半三角冪零行列として作用する実数の二次元表現など、一般には可約だが直既約な表現が無数に存在する。
群の表現論は1940年代頃からリチャード・ブラウアー （英語版 ） 実 または複素数 を成分とするベクトルではなく）任意標数 の体 K 上作用するモジュラー表現論 が与えられた。そうした理論における既約表現の類似構造物を単純加群 と呼ぶ。
ρ を体 F 上のベクトル空間 V における群 G の表現 ρ: G → GL(V ) とする。V の基底をとれば、ρ を群から正則行列からなる適当な集合の上への写像（準同型 ）と見做すことができて、この文脈では行列表現 と呼ばれるが、基底をとらずに空間 V を考えるほうが物事は非常に単純になる。
V の線型部分空間 W が G -不変 であるとは、任意の g ∈ G w ∈ W gw ∈ W G -不変部分空間 W へ制限 したものは部分表現 と呼ばれる。表現 ρ: G → GL(V ) が既約 であるとは、それが自明でない部分表現を持たないことをいう（任意の表現は自明な G -不変部分空間、つまり全体空間 V と{0} を部分表現として必ず含むことに注意）。 真の非自明な不変部分空間を持つ表現 ρ は、可約 (reducible ) であると言う。
群の元は行列 として表現することができる。この文脈で「表現する」というのは特定の明確な意味を持つことに注意すべきである。群の表現は、群の元全体の成す集合から行列の成す一般線型群 への写像のことを言う。記法として、G の元はラテン小文字 a , b , c , … で表し、群の乗法は記号を省略して G の元 ab とは a と b との積のこととする。表現を D とするとき、群の元 a の表現行列 は
D
(
a
)
=
(
D
(
a
)
11
D
(
a
)
12
⋯
D
(
a
)
1
n
D
(
a
)
21
D
(
a
)
22
⋯
D
(
a
)
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
D
(
a
)
n
1
D
(
a
)
n
2
⋯
D
(
a
)
n
n
)
{\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}
の形に書ける。群の表現の定義により、群の元の積の表現行列は
D
(
a
b
)
=
D
(
a
)
D
(
b
)
{\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}
として各元の表現行列の積 に翻訳される。群の単位元 e （即ち ae = ea = a を満たす元）に対し、D (e ) は単位行列 あるいは同じことだが単位行列からなるブロック行列 にならなければいけないことが、
D
(
e
a
)
=
D
(
a
e
)
=
D
(
a
)
D
(
e
)
=
D
(
e
)
D
(
a
)
=
D
(
a
)
{\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}
から分かる（群の他の元についても同様である）。
表現が直可約 (decomposable) であるとは、その表現の任意の行列を対角化 する相似行列 P による相似変換 [ 1]
D
(
a
)
↦
P
−
1
D
(
a
)
P
{\displaystyle D(a)\mapsto P^{-1}D(a)P}
によって表現の各行列が同じパターンの対角ブロックに写されることを言う（各ブロックが互いに独立な群の表現を与える）。表現行列 D (a ) と P −1 D (a )P は同値な表現 であるという[ 2] k 個の行列の直和 （英語版 ）
D
(
a
)
=
(
D
(
1
)
(
a
)
0
⋯
0
0
D
(
2
)
(
a
)
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
D
(
k
)
(
a
)
)
=
D
(
1
)
(
a
)
⊕
D
(
2
)
(
a
)
⊕
⋯
⊕
D
(
k
)
(
a
)
{\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)}
に分解できるとき（つまり D (a ) が直可約 のとき）、各直和因子行列には D (n ) (a ) (n = 1, 2, …, k ) のように普通は上付きの添字を括弧書きするが、括弧を付けないで書く文献もある。
D (a) の次元は、各ブロックの次元の総和
d
i
m
[
D
(
a
)
]
=
d
i
m
[
D
(
1
)
(
a
)
]
+
d
i
m
[
D
(
2
)
(
a
)
]
+
…
+
d
i
m
[
D
(
k
)
(
a
)
]
{\displaystyle \mathrm {dim} [D(a)]=\mathrm {dim} [D^{(1)}(a)]+\mathrm {dim} [D^{(2)}(a)]+\ldots +\mathrm {dim} [D^{(k)}(a)]}
に一致する。
表現行列がこのようなブロック対角行列にできないとき、その表現は直既約 (indecomposable) であると言う[ 1] [ 3]
J を回転の生成系、K を励起の生成系としたとき、D(K ) と D(J ) の既約表現はローレンツ群のスピン表現を作ることに使うことができる。なぜならば、量子力学のスピン行列と関係しているからである。このことから相対論的波動方程式 （英語版 ） [ 4]
H. Weyl (1950). The theory of groups and quantum mechanics . https://books.google.co.uk/books?id=jQbEcDDqGb8C&pg=PA203&dq=magnetic+moments+in+relativistic+quantum+mechanics&hl=en&sa=X&ei=X1h4Uc79Dcb40gWI1YDwCg&redir_esc=y#v=onepage&q=magnetic%20moments%20in%20relativistic%20quantum%20mechanics&f=false A. D. Boardman, D. E. O'Conner, P. A. Young (1973). Symmetry and its applications in science . McGraw Hill. ISBN 0-07-084011-3 V. Heine (republished: 2007 original: 1960). Group theory in quantum mechanics: an introduction to its present usage ISBN 0-07-084011-3 . https://archive.org/details/GroupTheoryInQuantumMechanics V. Heine (1993). Group Theory in Quantum Mechanics: An Introduction to Its Present Usage ISBN 048-6675-858 . https://books.google.co.uk/books?id=NayFD34uEu0C&pg=PA363&dq=lorentz+group+in+relativistic+quantum+mechanics&hl=en&sa=X&ei=8MZ-Ua-uNqaK0AX57YGYCA#v=onepage&q=lorentz%20group%20in%20relativistic%20quantum%20mechanics&f=false E. Abers (2004). Quantum Mechanics . Addison Wesley. p. 425. ISBN 978-0-13-146100-0 B. R. Martin, G.Shaw. Particle Physics (3rd ed.). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. pp. 3. ISBN 978-0-470-03294-7 Weinberg, S (1995), The Quantum Theory of Fields , 1 , Cambridge university press, pp. 230–231, ISBN 0-521-55001-7 Weinberg, S (1996-8), The Quantum Theory of Fields , 2 , Cambridge university press, ISBN 0-521-58555-4 Weinberg, S (2000), The Quantum Theory of Fields , 3 , Cambridge university press, ISBN 0-521-66000-9 R. Penrose (2007). The Road to Reality ISBN 0-679-77631-1 P. W. Atkins (1970). Molecular Quantum Mechanics (Parts 1 and 2): An introduction to quantum chemistry . 1 . Oxford University Press. pp. 125–126. ISBN 0-19-855129-0
![{\displaystyle \mathrm {dim} [D(a)]=\mathrm {dim} [D^{(1)}(a)]+\mathrm {dim} [D^{(2)}(a)]+\ldots +\mathrm {dim} [D^{(k)}(a)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763dd2346bb067910afca3a6c51774573820d49d)