ja ド・ロンシャン点

ド・ロンシャン点（ド・ロンシャンてん、英語: de Longchamps Point）は、幾何学用語のひとつ。三角形の外心に対して、垂心と対称な点のこと^[1]^[2]^[3]。また、反中点三角形の垂心と定義することもできる^[4]。フランスの数学者、Gaston Albert Gohierre de Longchamps（英語版）に因み名づけられた。

性質

外心に対して垂心と対称の位置にある。即ち、この点はオイラー線上にある。
中心を $BC, CA, AB$ の中点とし、それぞれ $A, B, C$ を通る円の根円（ド・ロンシャン円）の中心（根心）である^[4]。ド・ロンシャンの論文では、これを定義としている。
それぞれ $A, B, C$ を通る $BC, CA, AB$ の平行線と外接円の交点を通る、 $BC, CA, AB$ の垂線はド・ロンシャン点で交わる^[5]。
内心とジェルゴンヌ点を結ぶ直線（ソディ線）上にある^[6]。
GEOS円上にある。
4面が合同な四面体において、1つの頂点から対面に下ろした垂線はド・ロンシャン点を通る。
$AL 2 - BC 2 = BL 2 - CA 2 = CL 2 - AB 2$ が成り立つ。
九点円と同心で、外接円半径の3/2の半径を持つ円をシュタイナー円（Steiner circle）という。外接円とシュタイナー円の相似中心の一つはド・ロンシャン点である。
クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX₂₀として登録されており、重心座標は以下の式で表される^[7]。
$\tan B+\tan C-\tan A:\tan C+\tan A-\tan B:\tan A+\tan B-\tan C$
ダルブ―三次曲線の「Pivot Point」である。