תורת הקבוצות

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

תורת הקבוצות היא תורה מתמטית בסיסית העוסקת במושג הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים שונים זה מזה. התורה מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף. תורת הקבוצות האקסיומטית, המנוסחת בשפה של הלוגיקה המתמטית, מספקת תשתית לכל תחומי המתמטיקה. כשלעצמה, תורת הקבוצות עוסקת בעיקר בתכונות של מונים וסודרים.

את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור ב-1870, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (בגרמנית במקור), בכתב-העת Mathematische Annalen.

בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים, שנבעו מהיותה מתירנית מדי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרונן פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, ובעקבות צעד זה ההתייחסות לתורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת תורת הקבוצות הנאיבית. תורת הקבוצות הנאיבית עודנה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה והתוצאות שלה נכונות גם בגרסה האקסיומטית.

קבוצה מוגדרת כאוסף של איברים. לכל קבוצה ולכל עצם בעולם נכונה בדיוק אחת משתי האפשרויות הבאות:

• העצם איבר בקבוצה
• העצם אינו איבר בקבוצה

את השייכות לקבוצה מסמנים באות היוונית אפסילון. הסימון "${\displaystyle x\in A}$" אומר "${\displaystyle x}$ שייך ל־${\displaystyle A}$" במשמעות של ${\displaystyle x}$ איבר בקבוצה ${\displaystyle A}$. אם ${\displaystyle x}$ אינו איבר של ${\displaystyle A}$, מסמנים ${\displaystyle x\notin A}$.

בקבוצה אין משמעות לחזרות. כלומר, איבר לא יכול להופיע פעמיים בקבוצה: או שהוא שייך לה – או שאינו שייך. לדוגמה, הקבוצה ${\displaystyle \left\{x,x,x\right\}}$ היא בדיוק הקבוצה ${\displaystyle \left\{x\right\}}$, כלומר: ${\displaystyle \left\{x,x,x\right\}=\left\{x\right\}}$. בנוסף, אין חשיבות לסדר בייצוג הקבוצה, למשל: ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}=\left\{2,3,1\right\}}$.

נתבונן עתה בקבוצה ${\displaystyle A}$ ועליה נשאל, "האם בקבוצה ${\displaystyle A}$ יש איברים?"

• אם אין בה איברים, זוהי הקבוצה הריקה ונסמן: ${\displaystyle A=\emptyset }$.
• אם קיימים בה איברים, אז היא אינה ריקה: ${\displaystyle A\neq \emptyset }$.

את הקבוצה ${\displaystyle A}$ שבה קיימים רק שלושת האיברים ${\displaystyle a,b,c}$ נסמן: ${\displaystyle A=\left\{a,b,c\right\}}$. אפשרות סימון נוספת היא על ידי תנאי, כלומר: ${\displaystyle A=\left\{a\mid P(a)\ is\ True\right\}}$, קבוצת כל ה-a-ים שעבורם הפסוק הלוגי ${\displaystyle P(a)}$ (תנאי כלשהו) מתקיים.

אומרים ש-${\displaystyle A}$ מוכלת ב-${\displaystyle B}$ או חלקית ל-${\displaystyle B}$ (ומסמנים ${\displaystyle A\subseteq B}$) אם כל איבר של ${\displaystyle A}$ הוא איבר של ${\displaystyle B}$. יחס חשוב זה מגדיר שוויון בין קבוצות: קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם איברים. באופן שקול: ${\displaystyle A=B}$ אם ורק אם ${\displaystyle A\subseteq B}$ וגם ${\displaystyle B\subseteq A}$. זו תכונה מהותית של קבוצות, הממחישה שאין להן מבנה או תכונות מעבר לרשימת האיברים שהן מכילות. שילוב היחסים מאפשר להגדיר חלקיות ממש: ${\displaystyle A}$ חלקית ממש לקבוצה ${\displaystyle B}$ אם ורק אם היא חלקית לה, אך אינה שווה לה; במקרה זה נסמן ${\displaystyle A\subset B}$ או ${\displaystyle A\varsubsetneq B}$. כלומר, כל האיברים שבקבוצה ${\displaystyle A}$ שייכים גם לקבוצה ${\displaystyle B}$, אך קיים לפחות איבר אחד אשר שייך ל־${\displaystyle B}$ ואינו שייך ל־${\displaystyle A}$.

באוסף של קבוצות מתקיימות הפעולות הבאות:

• איחוד: האיחוד של שתי קבוצות ${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$ הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של ${\displaystyle A}$ ואת כל האיברים של ${\displaystyle B}$, בלי איברים אחרים. האיחוד של ${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$ נכתב בדרך כלל כך: ${\displaystyle A\cup B}$.

בכתיב פורמלי:

${\displaystyle x\in A\cup B}$ (${\displaystyle \ x}$ הוא איבר ב-${\displaystyle \ A\cup B}$) אם ורק אם ${\displaystyle x\in A}$ או ${\displaystyle x\in B}$.

• חיתוך: החיתוך של שתי קבוצות ${\displaystyle \ A}$ ו-${\displaystyle \ B}$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-${\displaystyle \ A}$ ששייכים גם ל-${\displaystyle \ B}$ (או באופן שקול, כל האיברים ב-${\displaystyle \ B}$ ששייכים גם ל-${\displaystyle \ A}$), ורק אותם. החיתוך של ${\displaystyle \ A}$ ו-${\displaystyle \ B}$ נכתב בדרך כלל כך: ${\displaystyle \ A\cap B}$. בכתיב פורמלי: ${\displaystyle \ x\in A\cap B}$ (${\displaystyle \ x}$ הוא איבר ב-${\displaystyle \ A\cap B}$) אם ורק אם ${\displaystyle \ x\in A}$ וגם ${\displaystyle \ x\in B}$.

לדוגמה: החיתוך של קבוצת אזרחי ישראל עם קבוצת אזרחי צרפת הוא קבוצת האנשים שלהם אזרחות כפולה, ישראלית וצרפתית.

• משלים: משלים של קבוצה ${\displaystyle G}$ הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-${\displaystyle G}$. זאת ביחס לקבוצה ${\displaystyle U}$ כלשהי שהיא הקבוצה האוניברסלית - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של ${\displaystyle U}$. נהוג לסמן משלים בסימונים ${\displaystyle G^{c}}$ או ${\displaystyle {\bar {G}}}$.

דוגמה: המשלים של קבוצת אזרחי ישראל הוא קבוצת האנשים שאינם ישראלים. בדוגמה זו מובלעת ההנחה שהקבוצה האוניברסלית בהקשר זה היא קבוצת האנשים. בדרך כלל ברור מתוך ההקשר מהי הקבוצה האוניברסלית, אך לעיתים ראוי לציין זאת במפורש.

• הפרש: ההפרש בין קבוצה ${\displaystyle A}$ לקבוצה ${\displaystyle B}$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ששייכים ל-${\displaystyle A}$ אך לא ל-${\displaystyle B}$. מסמנים את ההפרש ב-${\displaystyle A\setminus B}$ או ${\displaystyle A-B}$. בכתיב פורמלי: ${\displaystyle x\in A\setminus B}$ (${\displaystyle \ x}$ הוא איבר ב-${\displaystyle A\setminus B}$) אם ורק אם ${\displaystyle x\in A}$ וגם ${\displaystyle x\notin B}$.

מתקיים ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B'}$.

בהינתן קבוצה ${\displaystyle G}$, המשלים שלה ביחס לקבוצה ${\displaystyle U}$ הוא אם כן ${\displaystyle G^{c}=U\setminus G}$.

• מכפלה קרטזית: בהינתן שתי קבוצות ${\displaystyle A,B}$, המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת ${\displaystyle A\times B}$ והיא הקבוצה שמכילה את אוסף הזוגות הסדורים ${\displaystyle (a,b)}$ כך ש-${\displaystyle a\in A}$, ${\displaystyle b\in B}$.
• הפרש סימטרי: הפרש סימטרי של שתי קבוצות ${\displaystyle A,B}$ הוא הקבוצה ${\displaystyle C}$ המורכבת מכל איברי ${\displaystyle A}$ שלא שייכים ל-${\displaystyle B}$ וכל איברי ${\displaystyle B}$ שלא שייכים ל-${\displaystyle A}$ - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.

בכתיב פורמלי: ההפרש הסימטרי, המסומן ${\displaystyle \triangle }$ מוגדר כדלהלן:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=(A-B)\cup (B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)}$

• קבוצת החזקה: קבוצת החזקה של קבוצה נתונה ${\displaystyle A}$ היא קבוצת כל תתי הקבוצות של ${\displaystyle A}$, היינו ${\displaystyle P(A)=\{B:B\subseteq A\}}$. עוצמת קבוצת החזקה היא ${\displaystyle 2^{|A|}}$, ומשפט קנטור קובע כי עוצמת קבוצת החזקה גדולה ממש מעוצמת הקבוצה.

יחס בינארי הוא קבוצה של זוגות סדורים. יחסים מהווים כלי חשוב לזיהוי קבוצות ואיברים. פורמלית, יחס מקבוצה ${\displaystyle A}$ לקבוצה ${\displaystyle B}$ הוא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$, ולכל ${\displaystyle (a,b)\in R}$ מסמנים ${\displaystyle aRb}$. אומרים שהיחס הוא על קבוצה ${\displaystyle A}$ אם זה יחס מהקבוצה אל עצמה. למשל, היחס ${\displaystyle <}$ (קטן ממש) על הקבוצה ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ הוא היחס ${\displaystyle \{(1,2),(1,3),(2,3)\}}$.

יחס על ${\displaystyle A}$ נקרא רפלקסיבי אם ${\displaystyle \forall a\in A:(a,a)\in R}$, סימטרי אם ${\displaystyle (a,a')\in R\Rightarrow (a',a)\in R}$, וטרנזיטיבי אם ${\displaystyle aRb,bRc\Rightarrow aRc}$. יחס המקיים את שלוש התכונות הללו נקרא יחס שקילות. ליחסים כאלה תפקיד בסיסי וחשוב בכל תחומי המתמטיקה, והם מגדירים שקילויות בין איברים וקבוצות, ומאגדים איברים הנחשבים שקולים לאיבר אחד, המכונה מחלקת שקילות. מחלקות השקילות מהוות חלוקה של הקבוצה – הן זרות ואיחודן הוא כל הקבוצה. גם ההפך נכון, בהינתן חלוקה, ניתן להגדיר יחס שקילות שמחלקות השקילות שלו הן איברי החלוקה. כלומר, יש התאמה מלאה בין יחסי שקילות לחלוקות של קבוצה נתונה.

יחס על ${\displaystyle A}$ יקרא יחס סדר אם הוא טרנזיטיבי, רפלקסיבי ואנטי סימטרי, (לחלופין, טרנזיטיבי, א-סימטרי, וא-רפלקסיבי היינו ${\displaystyle \forall a\in A:(a,a)\not \in R}$). היחס יקרא יחס סדר מלא אם כל שני איברים ניתנים להשוואה, ויחס סדר טוב אם הוא מלא ולכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון. יחסי הסדר הקלאסיים על המספרים כולם יחסי סדר מלאים. יחס ההכלה הוא יחס סדר לא מלא. לכל יחס סדר ניתן לבנות את דיאגרמת הסה שלו - בדיאגרמה זו יש קו בין איבר תחתון לעליון, אם התחתון מתייחס לעליון. במקרה שהיחס מלא, מתקבלת שרשרת ארוכה של התייחסויות. באופן כללי, שרשרת עולה ביחס היא מהצורה ${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<...}$. הלמה של צורן קובעת כי בקבוצה סדורה חלקית, אם לכל שרשרת קיים חסם מלעיל, אז יש בקבוצה איבר מקסימלי.

פונקציה מורכבת משלושה חלקים: תחום, טווח וכלל התאמה בניהם. פורמלית, פונקציה מקבוצה ${\displaystyle A}$ (התחום) לקבוצה ${\displaystyle B}$ (הטווח) היא יחס חד ערכי, כלומר תת-קבוצה ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ המקיים ${\displaystyle aRb,aRb'\Rightarrow b=b'}$. כלומר, לכל איבר בתחום מתאים איבר יחיד בטווח. אם קיים איבר בתחום שלא קיימת לו התאמה בטווח, אזי היחס אינו פונקציה. בנוסף, אם קיים איבר במקור שמתאים לשני איברים שונים בטווח, גם אז היחס אינו פונקציה.

פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום איבר אחר בטווח נקראת פונקציה חד-חד-ערכית. פונקציה עבורה לכל איבר בטווח קיים איבר בתחום, כלומר התמונה שלה שווה לטווח שלה, תיקרא פונקציה על. פונקציה שהיא גם על וגם חד-חד ערכית מוכיחה את שקילות הקבוצות. פונקציה כזו היא גם הפיכה. גם ההפך נכון, אם הפונקציה הפיכה אז קיימת לה פונקציה חד-חד ערכית ועל.

הפונקציה היא מונח כללי השימושי בכל ענפי המתמטיקה. למחקר פונקציות והתכונות שלהן מקום מכריע בכל המתמטיקה. ניתן להגדיר פונקציות משמרות תכונות, פונקציות רציפות, פונקציות גזירות וכו', ולחקור את המבנים הנוצרים. הדגש על מעברים בין אובייקטים, המכליל את הרעיון של הפונקציה, נתון במושג המורפיזם בתורת הקטגוריות.

קבוצה המספרים הטבעיים, כלומר ...1,2,3 אשר כבר מוכרים לנו מחיי היום יום מוסמנת באות ${\displaystyle \mathbb {N} }$, כלומר: ${\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}}$. הקבוצה ${\displaystyle \mathbb {N} }$ מוגדרת באופן שאינו מאפשר לספור את איבריה, כלומר, אם ננסה לספור אותם, תמיד יהיו עוד איברים לספור. תכונה זו נלמדה על ידי רבים והוצעו מספר דרכים לתאר קבוצה מסוג זה באופן מתמטי. קנטור השתמש בדרך אחרת להתמודד עם בעיית הספירה וההתייחסות אל גודלן של קבוצות אלו. הוא החליף את פעולת הספירה האינטואיטיבית בשימוש בכלים מתמטיים כגון פונקציות, דבר שאיפשר להרחיב את היחסים המוכרים בין הקבוצות הסופיות גם לאינסופיות. אם קיים מיפוי דו-כיווני בין שתי קבוצות סופיות, קרי, פונקציה חד-חד ערכית ועל מ-${\displaystyle A}$ על ${\displaystyle B}$ (או מ־${\displaystyle B}$ ל־${\displaystyle A}$) הרי שלשתי הקבוצות יש אותו גודל.

למשל לקבוצות הסופיות ${\displaystyle A,B}$ המוגדרות:

${\displaystyle A=\left\{1,2,3,4\right\}}$

${\displaystyle B=\left\{c,d,e,f\right\}}$

נבנה פונקציה חד-חד ערכית מ-${\displaystyle A}$ על ${\displaystyle B}$: (בשימוש בזוגות סדורים)

${\displaystyle f=(A,B,\left\{(1,c),(2,d),(3,e),(4,f)\right\})}$

מקיום המיפוי נסיק שקבוצות אלו הן באותו גודל. מצאנו דרך מתמטית לטפל בהשוואת גודלן של קבוצות סופיות בלי לספור את איבריהן. במינוח המתמטי, אם קיים יחס שקילות בין שתי קבוצות. אז הקבוצות הן שוות עצמה.

נבדוק עכשיו שקילות של קבוצות אינסופיות כלשהן, למשל, קבוצות המספרים הטבעיים, וקבוצת הטבעיים הזוגיים המוגדרות:

${\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}}$

${\displaystyle \mathbb {N} _{\text{even}}=\left\{2,4,6,...\right\}}$

נגדיר פונקציה:

${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} _{\text{even}},\quad f(n)=2n}$

פונקציה זו, המוגדרת בין שתי הקבוצות, היא חד-חד ערכית ועל. מסקנה: קבוצת המספרים הטבעיים שקולה לקבוצת המספרים הזוגיים הטבעיים.

נגדיר באופן מדויק מהי קבוצה אינסופית: קבוצה אינסופית היא קבוצה שקיימת לה קבוצה חלקית ממש ושקולה לה. או לחלופין: קבוצה היא אינסופית אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מ-${\displaystyle A}$ ל-${\displaystyle A}$ שאינה על ${\displaystyle A}$. תכונה זו לא מתקיימת בקבוצות סופיות, אך היא מתקיימות בקבוצות שעוצמתן אינסופית.

ישנן קבוצות אינסופיות רבות שונות בגודלן זו מזו. מושג העוצמה משמש כיום כלי מרכזי בהתייחסות מתמטית לגודלן של קבוצות, בייחוד אינסופיות. מסמנים את העוצמה של קבוצה ב-${\displaystyle |A|}$; אומרים ש-${\displaystyle |A|\leq |B|}$ אם יש פונקציה חד-חד-ערכית ${\displaystyle f\colon A\to B}$, ו-${\displaystyle |B|\leq |A|}$ אם יש פונקציה על ${\displaystyle f\colon A\to B}$.קבוצות נקראות שקולות עוצמה אם יש ביניהן פונקציה הפיכה, ומסמנים ${\displaystyle |A|=|B|}$. משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין קובע כי מכך ש-${\displaystyle |A|\leq |B|}$, ${\displaystyle |B|\leq |A|}$ ניתן להסיק כי ${\displaystyle |A|=|B|}$.

תוצאות נוספות (ולעיתים מפתיעות) ביחסים בין קבוצות אינסופיות: קנטור הוכיח קיום שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים למספרים הרציונליים. כמו כן, משפט קנטור הוכיח אי שקילות בין כל קבוצה לקבוצת החזקה שלה והאלכסון של קנטור הוכיח אי שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים לממשיים.

קבוצה השקולה לתת קבוצה כלשהי של הטבעיים נקראת קבוצה בת-מנייה. חיתוך, מכפלה קרטזית סופית ואיחוד בן מנייה של קבוצות בנות־מנייה נשאר בן מנייה. לעומת זאת קבוצת המספרים הממשיים וקבוצת המספרים האי־רציונליים הן קבוצות שאינן בנות־מנייה. כלומר, שעוצמת גדולה מאלף אפס, עוצמת המספרים הטבעיים.

לסודרים שימושים רבים בתחומים שונים ולא צפויים במתמטיקה, והם מהווים מונח יסוד בתורת הקבוצות. חשיבותם נובעת ממשפט הסדר הטוב, על פיו ניתן להגדיר על כל קבוצה לא ריקה יחס סדר, המקיים את התכונה הבאה: בכל תת-קבוצה לא ריקה קיים אבר מינימלי (אבר קטן ביותר).

סודר הוא קבוצה הסדורה היטב לפי היחס ${\displaystyle \in }$ שהיא גם ${\displaystyle \in }$-טרנזטיבית (כלומר, אם ${\displaystyle x\in y\in A}$ אז ${\displaystyle x\in A}$. בין כל שני סודרים קיים יחס סדר. יתרה מזאת, כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית סדר לסודר יחיד, המהווה מעין נציג קנוני במחלקה שלה.

ניתן גם להגדיר פעולות בין סודרים, כמו חיבור, הפרש, כפל וחזקה. פעולות אלו שומרות חלקית על התכונות של הפעולות הרגילות על מספרים (למשל, החיבור איננו חילופי). ניתן להגדיר פונקציות מונוטוניות ורציפות בין סודרים, ביחס לטופולוגיית סדר.

סודרים מאפשרים להגדיר בתורת הקבוצות את האינדוקציה הטרנספיניטית ולהוכיח את משפט הרקורסיה הטרנספיניטית המהווים הכללה של המונחים אינדוקציה ורקורסיה על הטבעיים, ולהם שימושים רבים.

הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, מובילה למספר פרדוקסים, בהם הפרדוקס של ראסל. בעקבות הסתירה אליה הוביל הפרדוקס של ראסל, ובעיות נוספות, בהן הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס לקבוצת החזקה שלה (ראו פרדוקס קנטור) והפרדוקס של בורלי-פורטי, והצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל (אקסיומות צרמלו-פרנקל) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.

• אברהם הלוי פרנקל, מבוא למתמטיקה, כרך שני: האינסוף והמרחב, חטיבה ראשונה: תורת הקבוצות, הוצאת מסדה, 1953

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: תורת הקבוצות
ספר לימוד בוויקיספר: תורת הקבוצות
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: תורת הקבוצות

• שמואל ברגר, ‏תורת הקבוצות, האוניברסיטה הפתוחה, 1992
• תורת הקבוצות - הרצאות מוקלטות של פרופ' רון אהרוני
• גדי אלכסנדרוביץ', אז מה זו תורת הקבוצות?, באתר "לא מדויק", 19 באוקטובר 2019
• תורת הקבוצות, באתר MathWorld (באנגלית)
• תורת הקבוצות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• תורת הקבוצות, דף שער בספרייה הלאומית