המבנה העל-דק

במכניקת הקוונטים, המונח המבנה העל-דק מתייחס לאוסף אפקטים המובילים לתזוזות ופיצולים שונים ברמות האנרגיה של אטומים, מולקולות ויונים. השם, המבנה העל-דק, מתייחס ל"מבנה הדק" שהוא תוצאה של אינטראקציה בין המומנט המגנטי, ${\displaystyle \mu }$, לבין הספין, ${\displaystyle s}$, והמספר הקוונטי האזימוטלי, ${\displaystyle l}$. גודל התיקון במבנה העל-דק, בדרך כלל, קטן בכמה סדרי גודל ביחס לתיקוני המבנה הדק, והוא תוצאה של האינטראקציה של הגרעין (או גרעינים, במולקולות) עם השדה החשמלי או המגנטי הנוצרים בתוך האטום או המולקולה.

באטומים, המבנה העל-דק הוא תוצאה של המומנט המגנטי של הגרעין בשדה המגנטי הנוצר על ידי האלקטרון, ואנרגיית מומנט הקאודרופול החשמלי של הגרעין בגרדיאנט שדה חשמלי כתוצאה מחלוקת המטען בתוך האטום. גם במולקולות שני אפקטים אלו הם האפקטים העיקריים אך בנוסף אליהם ישנם אפקטים נוספים הנובעים מהאינטראקציה בין המומנט המגנטי וגרעיני המולקולה השונים, ובין המומנט המגנטי של הגרעינים והשדה המגנטי הנוצר על ידי סיבוב המולקולה.

המבנה העל-דק נצפה לראשונה בשנת 1881 על ידי אלברט אברהם מייקלסון, אולם ההסבר לתצפית ניתן רק בשנת 1924 על ידי וולפגנג פאולי, תוך שימוש מכניקת הקוונטים, על ידי הוספת מומנט מגנטי לגרעין.

ב-1935 הציעו הפיזיקאים הגרמנים הרמן שילר (Schüler)(גר') ותיאודור שמידט (Schmidt)(גר') את הקיום של מומנט קוואדרופול לגרעין כדי להסביר שגיאות במבנה העל-דק.

תיאורית המבנה העל-דק נובעת ישירות מאלקטרומגנטיות ומתאימה לאינטראקציה בין המומנטים המגנטיים של הגרעין (פרט למומנט הדיפול) לבין השדות הנוצרים באטום. תאוריה זו מתאימה לאטומים אך ניתן להשתמש בה עבור כל גרעין במולקולה בנפרד, עם תיקונים המתאימים למקרה של מולקולות.

ערך מורחב – דיפול

האיבר החשוב בהמילטוניאן המבנה העל-דק הוא לרוב איבר הדיפול המגנטי. לגרעין בעל ספין שונה מאפס, ${\displaystyle \mathbf {I} }$, יש מומנט דיפול מגנטי, ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{I}}}$, הנתון על ידי:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{I}}=g_{\text{I}}\mu _{\text{N}}\mathbf {I} }$

כאשר ${\displaystyle g_{\text{I}}}$ הוא הפקטור הגירומגנטי ו ${\displaystyle \mu _{\text{N}}}$ הוא המגנטון של גרעין זה.

למומנט דיפול, ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{I}}}$, בנוכחות שדה חשמלי, ${\displaystyle \mathbf {B} }$, יש השפעה על ההמילטוניאן מהצורה:^[1]

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}=-{\boldsymbol {\mu }}_{\text{I}}\cdot \mathbf {B} }$.

לעומת זאת במקרה שבו לא מופעל שדה מגנטי חיצוני, ${\displaystyle \mathbf {B} }$, מרגיש הגרעין את השדות הקשורים למספר הקוונטי האורביטלי, ${\displaystyle l}$, ולספין, ${\displaystyle s}$, של האלקטרון:

${\displaystyle \mathbf {B} \equiv \mathbf {B} _{\text{el}}=\mathbf {B} _{\text{el}}^{l}+\mathbf {B} _{\text{el}}^{s}}$

התנועה של אלקטרון סביב נקודה קבועה, במקרה שלנו הגרעין, גורמת למומנט תנע זוויתי. השפעתו על גרעין של אלקטרון בודד, בעל מטען ${\displaystyle -e}$ ובמרחק ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ביחס לגרעין, נתון על ידי:

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{el}}^{l}={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\dfrac {(-e)\mathbf {v} \times (-\mathbf {r} )}{r^{3}}}}$,

כאשר אם נכתוב את המרחק, ${\displaystyle \mathbf {r} }$, במונחים של מגנטון בוהר נקבל:

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{el}}^{l}=-2\mu _{\text{B}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\dfrac {1}{r^{3}}}{\dfrac {\mathbf {r} \times m_{\text{e}}\mathbf {v} }{\hbar }}}$.

כאשר ${\displaystyle m_{\text{e}}\mathbf {v} }$ זה תנע האלקטרון, ${\displaystyle p}$, ו ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {p} /\hbar }$ הוא המומנט האורביטלי ביחידות של ${\displaystyle \hbar }$, ${\displaystyle l}$, ניתן לכתוב:

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{el}}^{l}=-2\mu _{\text{B}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\dfrac {1}{r^{3}}}\mathbf {l} }$.

עבור המקרה הכללי ביטוי זה נכתב בעזרת סכום על כל המומנטים האורביטליים, ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} }}$, כאשר נסכום על כל האלקטרונים ונעזר בהטלה, ${\displaystyle \scriptstyle {\phi _{i}^{l}}}$, כש ${\displaystyle \scriptstyle {\sum _{i}\mathbf {l} _{i}=\sum _{i}\phi _{i}^{l}\mathbf {L} }}$. עבור מצבים עם היטל מוגדר היטב של מומנט התנע הזוויתי, ${\displaystyle \mathbf {L} _{z}}$, אפשר לכתוב,${\displaystyle \scriptstyle {\phi _{i}^{l}={\hat {l}}_{z_{i}}/L_{z}}}$, ומקבלים:

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{el}}^{l}=-2\mu _{\text{B}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\dfrac {1}{L_{z}}}\sum _{i}{\dfrac {{\hat {l}}_{zi}}{r_{i}^{3}}}\mathbf {L} }$.

המומנט המגנטי של ספין האלקטרון הוא תכונה שונה באופן מהותי מהמומנט האורביטלי בכך שהוא אינטרינזי, כלומר אינו תלוי בתנועת האלקטרון. כבכל מומנט מגנטי הקשור לחלקיק טעון אנו מקבלים מומנט דיפול מגנטי המשמש כמקור של שדה מגנטי. לאלקטרון בעל ספין, ${\displaystyle \mathbf {s} }$, יש מומנט מגנטי, ${\displaystyle \mu _{\mathbf {s} }}$, הנתון על ידי:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-g_{s}\mu _{\text{B}}\mathbf {s} }$,

כאשר ${\displaystyle g_{\mathbf {s} }}$ הוא הפקטור הג'ירומגנטי של ספין האלקטרון והסימן השלילי נובע מכך שמטען האלקטרון שלילי (כלומר עבור חלקיק עם מטען חיובי, מסה זהה והעובר באותם דרכים, היינו מקבלים זרמים זהים לחלוטין אך בכיוון ההפוך).

השדה המגנטי של מומנט דיפול,${\displaystyle \mu _{\mathbf {s} }}$, נתון על ידי:^[2]

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{el}}^{s}={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3({\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}\right)+{\dfrac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )}$.

ולכן המומנט הדיפול המגנטי הכולל שנוסף להמילטוניאן המבנה העל-דק הוא:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{D}&=2g_{\text{I}}\mu _{\text{N}}\mu _{\text{B}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\dfrac {1}{L_{z}}}\sum _{i}{\dfrac {{\hat {l}}_{zi}}{r_{i}^{3}}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {L} \\&+g_{\text{I}}\mu _{\text{N}}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\dfrac {1}{S_{z}}}\sum _{i}{\dfrac {{\hat {s}}_{zi}}{r_{i}^{3}}}\left\{3(\mathbf {I} \cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {S} \cdot {\hat {\mathbf {r} }})-\mathbf {I} \cdot \mathbf {S} \right\}\\&+{\frac {2}{3}}g_{\text{I}}\mu _{\text{N}}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}\mu _{0}{\dfrac {1}{S_{z}}}\sum _{i}{\hat {s}}_{zi}\delta ^{3}(\mathbf {r} _{i})\mathbf {I} \cdot \mathbf {S} .\end{aligned}}}$

האיבר הראשון בביטוי מייצג את התרומה לאנרגיה על ידי מומנט התנע הזוויתי של האלקטרון. האיבר השני מייצג את האנרגיה מהאינטראקציה עם מומנט הדיפול המגנטי שנוצר על ידי מומנט ספין האלקטרון. האיבר השלישי, הידוע גם כ"איבר המגע של פרמי", ומתקשר עם האינטראקציה הישירה בין דיפול הגרעין לבין דיפול הספין של הגרעין והוא שונה מאפס רק עבור מצבים עם צפיפות ספין אלקטרון סופית במיקום הגרעין (אלא עם אלקטרונים לא מצומדים במצב ${\displaystyle s}$). כמו כן ישנה טענה שניתן לקבל ביטוי שונה אם לוקחים בחשבון את הפילוג המדויק של המומנט המגנטי בגרעין.^[3]

עבור מצבים עם ${\displaystyle l\neq 0}$ ניתן להביע את חלק זה כך:

${\displaystyle {\hat {H}}_{D}=2g_{I}\mu _{\text{B}}\mu _{\text{N}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\dfrac {\mathbf {I} \cdot \mathbf {N} }{r^{3}}}}$,

כאשר ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {N} =\mathbf {l} -(g_{s}/2)\mathbf {s} +3(\mathbf {s} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}}}$.^[1]

תחת ההנחה שהמבנה העל-דק קטן מאוד יחסית למבנה הדק (לעיתים נקרא צימוד-IJ באנלוגיה לצימוד-LS) ובנוסף ${\displaystyle I}$ ו-${\displaystyle J}$ מספרים קוונטיים טובים ואיברי המטריצה ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}_{\text{D}}}}$ ניתנים לקירוב כלכסון ב-${\displaystyle I}$ ו-${\displaystyle J}$ אזי ניתן (נכון באופן כללי עבור יסודות קלים) להקרין את ${\displaystyle N}$ על ${\displaystyle J}$ (כאשר ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ הוא מומנט התנע הזוויתי הכולל) וידוע כי:^[4]

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}=2g_{I}\mu _{\text{B}}\mu _{\text{N}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\dfrac {\mathbf {N} \cdot \mathbf {J} }{\mathbf {J} \cdot \mathbf {J} }}{\dfrac {\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} }{r^{3}}}}$.

כאשר את ביטוי זה ניתן לכתוב גם בצורה:

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} }$,

כאשר ${\displaystyle \scriptstyle {\langle {\hat {A}}\rangle }}$ נקבע על ידי הניסוי.

משום ש

${\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {F} \cdot \mathbf {F} -\mathbf {I} \cdot \mathbf {I} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {J} )}$

כאשר ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {I} +\mathbf {J} }$ הוא המומנט הזוויתי הכולל, נקבל אנרגיה:

${\displaystyle \Delta E_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\langle {\hat {A}}\rangle [F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)]}$.

במקרה זה אינטראקציות המבנה העל-דק עומדות בדרישות חוק הרווחים של לנדה.

לגרעינים בעלי ספין ${\displaystyle \scriptstyle {I\geq 1}}$ יש מומנט קוורדרופול חשמלי.^[5] במקרה הכללי ניתן לייצגו בעזרת טנזור ממעלה שנייה, ${\displaystyle \scriptstyle {\underline {\underline {Q}}}}$, שרכיביו נתונים על ידי:^[2]

${\displaystyle Q_{ij}={\dfrac {1}{e}}\int \left(3x_{i}^{\prime }x_{j}^{\prime }-(r^{\prime })^{2}\delta _{ij}\right)\rho (\mathbf {r} ^{\prime })d^{3}r^{\prime }}$,

כאשר ${\displaystyle i}$ ו-${\displaystyle j}$ הם אינדקסי הטנזור ונעים בין 1 ל-3, ${\displaystyle x_{i}}$ ו-${\displaystyle x_{j}}$ הם המשתנים המרחביים, ${\displaystyle x}$,‏ ${\displaystyle y}$ ו-${\displaystyle z}$ תלויים בערכי ${\displaystyle i}$ ו-${\displaystyle j}$ בהתאמה, ${\displaystyle \delta _{ij}}$ היא הדלתא של קרונקר ו-${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$ היא צפיפות המטען. כטנזור תלת-ממדי ממעלה שנייה, יש למומנט הקוואדרופול ${\displaystyle 3^{2}=9}$ רכיבים. מהגדרת הרכיבים ברור כי הטנזור הוא מטריצה סימטרית ( ${\displaystyle Q_{ij}=Q_{ji}}$ ) חסר עקבה ( ${\displaystyle \sum \nolimits _{i}Q_{ii}=0}$ ), המותירים רק חמישה רכיבים במודול הפשוט. נביע באמצעות הנוטציה של המודול הפשוט של הטנזור הספרי ונקבל:^[2]

${\displaystyle T_{m}^{2}(Q)={\sqrt {\dfrac {4\pi }{5}}}\int \rho (\mathbf {r} ^{\prime })(r^{\prime })^{2}Y_{m}^{2}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })d^{3}r^{\prime }}$.

האנרגיה הקשורה למומנט הקאוודרופול בשדה חשמלי אינה תלויה בעוצמת השדה אלא בגודל השינוי (הגרדיאנט) המסומן ב${\displaystyle \scriptstyle {\underline {\underline {q}}}}$, עוד טנזור שתי רמות נתון על ידי רוטור השדה החשמלי:

${\displaystyle {\underline {\underline {q}}}=\nabla \otimes \mathbf {E} }$,

כאשר רכיביו נתונים על ידי:

${\displaystyle q_{ij}={\dfrac {\partial ^{2}V}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$.

שוב ברור כי זהו טנזור סימטרי, מפני שמקור השדה האלקטרומגנטי בגרעין הוא פיזור המטען מחוץ לגרעין בלבד, ניתן להביעו בעזרת חמישה רכיבים, ${\displaystyle \scriptstyle {T^{2}(q)}}$, בעזרת:^[6]

${\displaystyle T_{0}^{2}(q)={\dfrac {\sqrt {6}}{2}}q_{zz}}$

${\displaystyle T_{+1}^{2}(q)=-q_{xz}-iq_{yz}}$

${\displaystyle T_{+2}^{2}(q)={\frac {1}{2}}(q_{xx}-q_{yy})+iq_{xy}}$,

ובנוסף:

${\displaystyle T_{-m}^{2}(q)=(-1)^{m}T_{+m}^{2}(q)^{*}}$.

לכן איבר הקוואדרופול בהמילטוניאן ניתן על ידי:

${\displaystyle {\hat {H}}_{Q}=-eT^{2}(Q)\cdot T^{2}(q)=-e\sum _{m}(-1)^{m}T_{m}^{2}(Q)T_{-m}^{2}(q)}$.

גרעין טיפוסי מקיים בקירוב טוב מאוד סימטריה מעגלית לכן כל האיברים מחוץ לאלכסון שואפים לאפס, ולכן, לרוב, מומנט הקאוודרופול החשמלי של הגרעין מיוצג על ידי Q_zz. ‏^[5]

ישנן מספר דרכים למדוד את השפעות המבנה העל-דק, ביניהן בעזרת הספקטרום של אטומים ומולקולות ובתוך הרזוננס הפרמגנטי של האלקטרון ברדיקלים חופשיים וביונים של מתכות.

נעזרים בתופעה זו בתחומים רבים בפיזיקה, בהם אסטרופיזיקה, טכנולוגיה גרעינית, הגדרת היחידות הסטנדרטיות (SI) שנייה ומטר, ניסויים מדויקים באלקטרודינמיקה קוונטית ובמחשוב קוונטי.

• המבנה הדק
• קו המימן

• מידע בנושא מבנה אטומי ודעיכה מומנט מגנטי וחשמלי של גרעינים, באתר IAEA
• המבנה העל-דק, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)