Natif du Beaujolais, il suit les cours de violoncelle au conservatoire de Lyon puis ceux de Paris où il remporte un premier prix. Ceci ne l'empêche pas d'échouer au concours d'entrée à l'orchestre de l'Opéra de Paris, ce qui le motive à renoncer à une carrière classique.
Il ne quitte pas pour autant son violoncelle. Bien au contraire, l'instrument l'accompagne tout au long de sa vie et l'on se souvient du clin d'œil que lui autorisa Joseph Losey le temps d'une courte mais émouvante séquence dans Monsieur Klein.
Au début des années 1930, il côtoie Pierre et Jacques Prévert, Roger Blin et rejoint le célèbre Groupe Octobre, un groupe d'agitprop, très lié au Parti communiste français. Il y installe son métier de comédien et s'adonne aux beaux textes, en particulier les poèmes d'Aragon et Paul Éluard.
En 1935, il tourne son premier long métrage sous la direction de Marc Allégret, Les Beaux Jours. S'ensuit une filmographie de plus de 80 titres. Sa tête de gamin débrouillard et facétieux lui vaut également le rôle de Bibi Fricotin, puis celui de Ribouldingue dans deux films de Marcel Aboulker.
Au théâtre, il joue dans les opérettes Andalousie et Gipsy de Francis Lopez. Il se produit également au cabaret, parfois accompagné aux claquettes par Jacqueline Figus, son épouse depuis 1944.
Il participe aussi à des compétitions de ski d'alpinisme[2], ainsi qu'à des performances plus humoristiques, telles que sa descente à ski des escaliers de la Butte Montmartre en 1946[3]. Dans le même registre, il descend aussi à ski les escaliers de la Maison de la Radio, à la suite d'un pari[réf. souhaitée]. En 1947, il présente avec le fantaisiste Saint-Granier un vélo-ski permettant de descendre les pistes[4].
Ami de Roger Frison-Roche on le retrouve au générique de Premier de cordée (1944). En 1955, il coréalise avec Gaston Rébuffat et Georges Tairraz, Étoiles et Tempêtes, récompensé par le grand prix du festival de Trente. Le , il réalise avec Gaston Rébuffat la première ascension de la face sud-est de l'aiguille du Midi[5] à Chamonix, dont on peut voir des séquences dans Entre terre et ciel.
Il était également l'ami de Robert Doisneau qui l'a abondamment photographié[6] et avec qui il a réalisé un ouvrage intitulé Ballade pour violoncelle et chambre noire qui témoigne de leur amitié.
Compagnon du Devoir, chevalier de la Légion d'honneur et des Arts et des Lettres, Maurice Baquet a reçu de nombreux titres en reconnaissance de son travail dont un Molière d'honneur en 1998.
Le conservatoire municipal de la ville de Noisy-le-Grand dans lequel il fut d'ailleurs professeur de violoncelle pendant quelques années, porte son nom depuis 1997.
Une salle des fêtes de la commune de Chazay-d'Azergues, dans le Beaujolais, porte son nom[8]. L'école primaire de Beauregard, village dans lequel il est enterré, porte aussi son nom.
La salle omnisports de la ville de La Seyne-sur-Mer (83) porte son nom également[9]. Un complexe sportif de la commune de Villejuif (94) porte son nom[10].
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