Intervalle d'espace-temps

Les deux axiomes sont : le principe de relativité et l'invariance de la vitesse de la lumière par changement de référentiel (inertiel, comme tous les référentiels considérés ici).

• Si, dans un certain référentiel, deux événements sont séparés de la distance spatiale ${\displaystyle \ \Delta l}$ et de la distance temporelle ${\displaystyle \ \Delta t}$ de telle sorte que ${\displaystyle |\Delta l/\Delta t|\,=c}$ la vitesse de la lumière, alors on a : ${\displaystyle \ \Delta s^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}=0}$.

Si les deux mêmes événements sont vus depuis un autre référentiel, alors les distances spatiale et temporelle y sont ${\displaystyle \ \Delta l'}$ et ${\displaystyle \ \Delta t'}$, avec ${\displaystyle |\Delta l'/\Delta t'|\,=c}$ la vitesse de la lumière, qui a la même valeur dans cet autre référentiel, d'après le deuxième axiome. On en déduit que dans ce référentiel aussi, on a ${\displaystyle \ \Delta s'^{2}=c^{2}\Delta t'^{2}-\Delta l'^{2}=0}$

Ainsi, si ${\displaystyle \ \Delta s^{2}=0}$ dans un référentiel, il en est de même dans tout autre.

• Dans chaque référentiel et pour tout couple d'événements suffisamment proches, ${\displaystyle \ \Delta s^{2}}$ et ${\displaystyle \ \Delta s'^{2}}$ sont des infiniment petits du même ordre de grandeur car les changements de référentiels sont des fonctions affines à coefficients constants, donc les relations entre les ${\displaystyle \ \Delta l\;,\Delta t}$, d'un référentiel à l'autre sont linéaires ou affines. ${\displaystyle \ \Delta s^{2}}$ et ${\displaystyle \ \Delta s'^{2}}$ s'annulent simultanément, donc il existe un nombre ${\displaystyle a}$ tel que ${\displaystyle \ \Delta s^{2}=a.\Delta s'^{2}}$. Ce nombre ne peut pas dépendre de la position relative des deux référentiels car l'espace-temps est supposé homogène, donc il ne dépend que de la vitesse relative des deux référentiels. Mais il ne peut pas dépendre de la direction de cette vitesse car l'espace-temps est supposé isotrope. Ainsi il ne dépend que de la valeur absolue de la vitesse relative, ou encore de son carré : ${\displaystyle \ a=a(v^{2})}$.
• Considérant trois référentiels, le principe de relativité imposant que les lois y soient les mêmes, on a : ${\displaystyle \ \Delta s^{2}=a(v^{2}).\Delta s'^{2}\,,}$ ${\displaystyle \ \Delta s'^{2}=a(v'^{2}).\Delta s''^{2}}$ et ${\displaystyle \ \Delta s^{2}=a(v''^{2}).\Delta s''^{2}}$. Ainsi ${\displaystyle \ a(v''^{2})=a(v^{2}).a(v'^{2})}$. Or ${\displaystyle \ v''^{2}}$ dépend de l'angle entre ${\displaystyle \ v}$ et ${\displaystyle \ v'}$, angle n'intervenant pas dans ${\displaystyle a(v^{2}).a(v'^{2})}$. Donc, ${\displaystyle \ a(v^{2})=a}$ est un nombre constant, ne dépendant pas de la vitesse relative des référentiels.
• Comme ${\displaystyle \ \Delta s^{2}=1.\Delta s^{2}}$, on a ${\displaystyle \ a=1}$.

Conclusion : ${\displaystyle \ \Delta s^{2}=\Delta s'^{2}}$. Le carré de l'intervalle d'espace-temps est invariant par changement de référentiel.

On ramene le problème à deux dimensions pour plus de lisibilité, donc on néglige les détails sur les rotations spatiales.

En considérant deux référentiels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre à la vitesse ${\displaystyle \ v}$, les transformations de Lorentz utilisées sont :

${\displaystyle \,~\left\{{\begin{matrix}c\Delta t'=\gamma \left(c\Delta t-\beta \Delta x\right)\\\Delta x'=\gamma \left(\Delta x-\beta .c\Delta t\right)\\\Delta y'=\Delta y\\\Delta z'=\Delta z\end{matrix}}\right.\,~}$ avec ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$ et ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$,

Par quelques calculs algébriques simples, on montre que l'on a bien ${\displaystyle c^{2}\Delta t'^{2}-\Delta x'^{2}-\Delta y'^{2}-\Delta z'^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}\,,}$

Le calcul suivant illustre le rapport étroit entre les formules de transformations de Lorentz et l'invariance du carré de l'intervalle spatio-temporel et la possibilité de passer d'un formalisme à l'autre.

En géométrie euclidienne, une rotation d'angle θ du système de coordonnées autour de l'axe Oz laisse invariante la distance entre deux points. Les formules de changement d'axes de coordonnées correspondant à cette rotation et donnant les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes s'écrivent :

${\displaystyle {\begin{cases}x'=x\cos \,\theta +y\sin \,\theta \\y'=-x\sin \,\theta +y\cos \,\theta \\z'=z\,.\end{cases}}}$

Par conséquent les différences de coordonnées entre les deux points A et B deviennent

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta x'=\Delta x\cos \,\theta +\Delta y\sin \,\theta \\\Delta y'=-\Delta x\sin \,\theta +\Delta y\cos \,\theta \\\Delta z'=\Delta z\,.\end{cases}}}$

On en déduit

${\displaystyle (\Delta x')^{2}+(\Delta y')^{2}+(\Delta z')^{2}=(\Delta x\cos \,\theta +\Delta y\sin \,\theta )^{2}+(-\Delta x\sin \,\theta +\Delta y\cos \,\theta )^{2}+(\Delta z)^{2}\equiv (\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\,,}$

formule montrant bien l'invariance de cette somme des carrés.

En relativité restreinte les transformations de Lorentz permettent de passer du système « fixe » à un système animé d'une vitesse v le long de l'axe Ox. En utilisant le paramètre angulaire θ défini par

${\displaystyle \beta =v/c\,,\ \beta \,=\,\tanh \theta }$   soit   ${\displaystyle \theta \,=\,\mathrm {atanh} \beta }$

les formules de Lorentz s'écrivent comme des formules de rotation d'axes à ceci près que les fonctions trigonométriques sont remplacées par les fonctions hyperboliques. On a les expressions :

${\displaystyle {\begin{cases}ct'=\ ct\cosh \,\theta -x\sinh \,\theta \\x'=-ct\sinh \,\theta +x\cosh \,\theta \\y'=y\\z'=z\end{cases}}}$

Par conséquent si on considère deux événements, les différences de coordonnées se transformeront comme

${\displaystyle {\begin{cases}c\Delta t'=\ c\Delta t\cosh \,\theta -\Delta x\sinh \,\theta \\\Delta x'=-c\Delta t\sinh \,\theta +\Delta x\cosh \,\theta \\\Delta y'=\Delta y\\\Delta z'=\Delta z\end{cases}}}$

On en déduit :

${\displaystyle \,(c.\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z')^{2}=(c\Delta t\cosh \,\theta -\Delta x\sinh \,\theta )^{2}-(-c\Delta t\sinh \,\theta +\Delta x\cosh \,\theta )^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}\,.}$

Comme

${\displaystyle \,(\cosh \theta )^{2}-(\sinh \theta )^{2}=1}$

on aboutit bien à la formule d'invariance annoncée

${\displaystyle \,(c.\Delta t')^{2}-(\Delta l')^{2}=\,(c.\Delta t)^{2}-(\Delta l)^{2}\,.}$

L'invariance par changement de référentiel de l'ordre temporel entre deux événements séparés par un intervalle de genre temps est en équivalence tautologique avec le principe de non-inversion de l'axe du temps par changement de référentiel^[6].

Mais on peut vouloir se convaincre, par quelques considérations mathématiques, que cette invariance est bien une conséquence de ce principe :

Les seuls changements de référentiel que la physique permette respectent l'orientation de l'axe du temps et l'orientation des repères tridimensionnels (l'orientation unanimement admise étant celle de la main droite), ce sont aussi les changements continus à partir du référentiel initial, et sont appelés transformations propres et orthochrones.

Considérons un couple d'événements du genre temps tel que l'intervalle Δt de A vers F soit positif (t(F) est plus grand que t(A), ou F est postérieur à A). Pour que cet intervalle change de signe (F devenant antérieur à A) il faudrait qu'il traverse la valeur nulle, ce qui est impossible. En effet le carré Δt² de l'intervalle temporel est égal à la somme de deux carrés selon la formule :
${\displaystyle c^{2}\,\Delta t^{2}\,=\,\Delta s^{2}+\Delta l^{2}}$,

où le premier terme du second membre est strictement positif (et invariant par changement de référentiel) et le second terme, carré d'une distance euclidienne, est positif ou nul. Par conséquent ce carré Δt² ne peut pas s'annuler. Il en est de même de l'intervalle temporel Δt lui-même, lequel, ne pouvant pas s'annuler, ne peut pas changer continûment de signe. Ainsi, si A précède F pour un certain observateur, il en sera toujours de même pour tout observateur physiquement admissible. Si A était antérieur à F, F ne peut pas agir sur A en devenant lui-même antérieur à A.

Étant donné deux événements A et B tels que dans le référentiel ${\displaystyle (R)}$ de l'observateur ${\displaystyle \ \Delta t=t_{B}-t_{A}>0}$, et en supposant ${\displaystyle \ \Delta x=x_{B}-x_{A}>0}$ avec un bon choix de l'axe ${\displaystyle \ x}$.

Considérons un référentiel ${\displaystyle (R')}$ en translation par rapport au repère (R), à la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}=u\,{\vec {e}}_{x}}$ le long de l'axe des x, avec ${\displaystyle 0<u<c}$.

D'après les transformations de Lorentz, la durée entre les deux événements, vue du référentiel ${\displaystyle (R')}$ vaut :
${\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-{\frac {u.\Delta x}{c^{2}}})\,,}$ avec : ${\displaystyle \,\gamma =\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{-1/2}>0}$.
${\displaystyle \Delta t}$ étant positif, que dire du cas ${\displaystyle \Delta t'}$ négatif ?
${\displaystyle \Delta t'<0\Longleftrightarrow \Delta t\,<\,{\frac {u}{c^{2}}}\Delta x\Longleftrightarrow {\frac {c^{2}}{u}}<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\;.}$
Or : ${\displaystyle 0<u<c\Longleftrightarrow c<{\frac {c^{2}}{u}}}$.
D'où : ${\displaystyle \Delta t'<0\Longleftrightarrow \Delta t\,<\,{\frac {u}{c^{2}}}\Delta x\Longleftrightarrow {\frac {c^{2}}{u}}<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\Rightarrow c<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\Longleftrightarrow c^{2}.\Delta t^{2}-\Delta x^{2}<0}$, d'où les deux événements sont séparés par un intervalle de genre espace.
Une flèche à sens unique ${\displaystyle \Rightarrow }$ bloque la réciproque, mais on a : ${\displaystyle c<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}\Rightarrow }$ il existe un nombre positif ${\displaystyle \epsilon <1}$ tel que ${\displaystyle c<\epsilon .{\frac {\Delta x}{\Delta t}}<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}}$. En posant ${\displaystyle \ u=c.\epsilon <c}$, on obtient ${\displaystyle {\frac {c^{2}}{u}}<{\frac {\Delta x}{\Delta t}}}$ et on peut toujours construire un référentiel ${\displaystyle (R')}$ en translation à la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}=u\,{\vec {e}}_{x}}$ pour lequel ${\displaystyle \ \Delta t'<0}$.

On remarque que de cette manière on peut aussi déterminer un référentiel pour lequel les deux événements sont simultanés.