Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.

Sea ${\displaystyle V_{}^{}}$ un espacio vectorial sobre ${\displaystyle K_{}^{}}$ y ${\displaystyle U\subset V}$ no vacío, ${\displaystyle U_{}^{}}$ es un subespacio vectorial de ${\displaystyle V_{}^{}}$ si:

${\displaystyle i)\;\;\forall u,v\in U,u+v\in U}$

${\displaystyle ii)\;\forall u\in U,\forall k\in K,ku\in U}$

• Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.

Notaciones

Dado ${\displaystyle F\,}$ un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje ${\displaystyle F+F\subset F}$, e incluso ${\displaystyle F+F=F}$ es correcto.

Demostración

Se quiere ver que ${\displaystyle \forall w\in F+F\Leftrightarrow w\in F}$: ${\displaystyle \Rightarrow )w\in F+F\Rightarrow \exists u,v\in F:w=u+v\Rightarrow w\in F.}$ ${\displaystyle \Leftarrow )w\in F\Rightarrow w=w+{\vec {0}}\Rightarrow w\in F+F}$

Para ii) el abuso de lenguaje ${\displaystyle \lambda F\subset F}$, e incluso ${\displaystyle \lambda F=F,\;\;\forall \lambda \in K-\{0\}}$ es correcto.

Demostración

${\displaystyle w\in F\Leftrightarrow {\frac {1}{\lambda }}w\in F\Leftrightarrow \lambda {\frac {1}{\lambda }}w\in \lambda F\Leftrightarrow w\in \lambda F}$

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Dado el espacio vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, sus elementos son del tipo ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• 
  ${\displaystyle {\vec {0}},u}$ y ${\displaystyle \lambda u}$ están alineados, ${\displaystyle \forall u\in \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle \forall \lambda \in K.}$
• 
  ${\displaystyle {\vec {0}},u,v}$ y ${\displaystyle u+v}$ forman un paralelogramo si no están alineados, ${\displaystyle \forall u,v\in \mathbb {R} ^{2}.}$
• 
  Suma de 3 elementos.

El subconjunto

${\displaystyle U=\{(a,b):a+b=0\}}$.

es un subespacio vectorial.

Demostración

Por definición de U los elementos son de la forma ${\displaystyle x=(x_{1},-x_{1})}$. ${\displaystyle {\begin{matrix}Suma&+:&{\mathbb {R} ^{2}\times {}\mathbb {R} ^{2}}&\longrightarrow {}&{\mathbb {R} ^{2}}&\\&&{(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}&\mapsto &{(u_{1},-u_{1})+(v_{1},-v_{1})}&=((u_{1}+v_{1}),-(u_{1}+v_{1}))\end{matrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}Producto&\cdot {}:&{K\times {}V}&\longrightarrow {}&{V}&\\&&{(a,\mathbf {u} )}&\mapsto &a\cdot (u_{1},-u_{1})&=((a\cdot u_{1}),-(a\cdot u_{1}))\end{matrix}}}$ como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

El subconjunto

${\displaystyle C=\{(a,b):b=a^{2}\}}$

no es un subespacio vectorial.

Sea ${\displaystyle V_{}^{}}$ un espacio vectorial. Asumimos que ${\displaystyle V_{}^{}}$ es un espacio vectorial real, pero todo funciona también para un espacio vectorial complejo.

1) {0} es un subespacio vectorial de ${\displaystyle V_{}^{}}$. Es llamado el subespacio trivial de ${\displaystyle V_{}^{}}$.

2) ${\displaystyle V_{}^{}}$ en sí es un subespacio vectorial de ${\displaystyle V_{}^{}}$.

3) Si fijamos ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \in V}$. Entonces el conjunto ${\displaystyle W:=\left\{\mathbf {\mu v} \in V\colon \mu \in \mathbb {R} \right\}}$ es un subespacio de ${\displaystyle V_{}^{}}$.

4) Más generalmente, si fijamos ${\displaystyle v_{1}}$, ..., ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle \in V}$, entonces el conjunto ${\displaystyle W:=\left\{\mathbf {\mu _{1}v_{1}} +...+\mathbf {\mu _{k}v_{k}} \colon \mu _{1},...,\mu _{k}\in \mathbb {R} \right\}}$ es un subespacio de ${\displaystyle V_{}^{}}$. Este conjunto es llamado el generador lineal de ${\displaystyle v_{1}}$, ..., ${\displaystyle v_{k}}$.

5) Si fijamos ${\displaystyle z_{0}}$ y ${\displaystyle v_{1}}$, ..., ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle \in V}$, entonces el conjunto ${\displaystyle W:=\left\{z_{0}+\mathbf {\mu _{1}v_{1}} +...+\mathbf {\mu _{k}v_{k}} \colon \mu _{1},...,\mu _{k}\in \mathbb {R} \right\}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle +}$${\displaystyle \left\{\mathbf {\mu _{1}v_{1}} +...+\mathbf {\mu _{k}v_{k}} \colon \mu _{1},...,\mu _{k}\in \mathbb {R} \right\}}$ es un subespacio afín de ${\displaystyle V_{}^{}}$. En general, no será un subespacio.

6) Si ${\displaystyle W_{}^{}}$ es un subespacio de ${\displaystyle V_{}^{}}$, entonces ${\displaystyle V_{}^{}\setminus W_{}^{}}$ no es un subespacio. Esto es fácil de ver, considerando que ${\displaystyle W_{}^{}}$ debe que contener el 0, pero ${\displaystyle V_{}^{}\setminus W_{}^{}}$ no contiene el 0. Por lo tanto, no puede ser un espacio vectorial.

Sea ${\displaystyle (V,+,K,*)}$ un espacio vectorial; ${\displaystyle (S,+,K,*)}$ y ${\displaystyle (W,+,K,*)}$ subespacios vectoriales de ${\displaystyle V}$, se definen las siguientes operaciones:

${\displaystyle S\cup W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in S\ {\text{o}}\ \mathbf {v} \in W\right\}}$
En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

${\displaystyle S\cap W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in S\ {\text{y}}\ \mathbf {v} \in W\right\}}$
La intersección de dos subespacios es un subespacio.

${\displaystyle S+W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} =(\mathbf {u_{1}} +\mathbf {u_{2}} )\wedge \mathbf {u_{1}} \in S\wedge \mathbf {u_{2}} \in W\right\}}$
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".^[1]​
Es decir que si ${\displaystyle S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow S\oplus W}$
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Se dice que los subespacios ${\displaystyle S}$ y ${\displaystyle W}$son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle S\oplus W=\;V\;\leftrightarrow \;{\begin{cases}S+W=\;V\\S\cap W=\left\lbrace {\overset {\rightarrow }{0}}\right\rbrace \end{cases}}}$

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios ${\displaystyle S}$ y ${\displaystyle W}$ será igual a la dimensión del subespacio ${\displaystyle S}$ más la dimensión del subespacio ${\displaystyle W}$ menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:

${\displaystyle \dim(S+W)=\dim(S)+\dim(W)-\dim(S\cap W)}$

Por ejemplo, siendo ${\displaystyle \dim(S)=3}$ y ${\displaystyle \dim(W)=2}$ y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, ${\displaystyle \dim(S+W)=4}$.

En el caso particular de la suma directa, como ${\displaystyle S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow \dim(S\cap W)=0}$.
La fórmula de Grassmann resulta:

${\displaystyle \dim(S\oplus W)=\dim(S)+\dim(W)}$

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría ${\displaystyle \dim(S\oplus W)=5}$.

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