Probabilidad a posteriori

En estadística bayesiana, la probabilidad condicional Inversa de un evento aleatorio es la probabilidad condicional que es asignada después de que la evidencia es tomada en cuenta.

Teniendo la creencia a priori de que la función de distribución de probabilidad es ${\displaystyle p(\theta )}$ y de que una observación ${\displaystyle X}$ con la verosimilitud ${\displaystyle p(X|\theta )}$, la probabilidad condicional inversa es definida como ${\displaystyle p(\theta |X)}$ ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle p(\theta )p(X|\theta )}$.

Supóngase un colegio mixto donde el 60% de los estudiantes son chicos y el 40% son chicas. Las chicas llevan pantalón o falda en probabilidades iguales; los chicos siempre llevan pantalones. Un observador ve desde lejos a un estudiante aleatorio; lo único que puede distinguir el observador es que el o la estudiante lleva pantalones. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica? La respuesta correcta se puede hallar usando el Teorema de Bayes.

El evento A es que el estudiante observado sea una chica, mientras que el evento B es que el estudiante observado lleva pantalones. Para hallar P(A|B), primero necesitamos saber:

• P(A), o la probabilidad de que el estudiante sea una chica a pesar de cualquier otra información. Ya que el observador ve un estudiante aleatorio, y dado que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser observados, y el porcentaje de chicas entre los estudiantes es el 40%, esta probabilidad es 0,4.
• P(A'), o la probabilidad de que el estudiante observado sea un chico a pesar de cualquier otra información (A' es el complementario del evento A). Esto es el 60%, o 0,6.
• P(B|A), o la probabilidad de que el estudiante lleve pantalones siendo una chica. Como tienen la misma probabilidad de llevar falda o pantalones, esto es 0,5.
• P(B|A'), o la probabilidad de que el estudiante lleve pantalones siendo un chico. Esto es 1.
• P(B), o la probabilidad de que un estudiante (aleatorio) lleve pantalones. Dado que P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A'), esto es 0,5×0,4 + 1×0,6 = 0,8.

Dados todos estos datos, la probabilidad de que el observador haya visto a una chica habiendo observado que lleva pantalones puede ser calculada sustituyendo estos valores en la fórmula:

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}={\frac {0,5\times 0,4}{0,8}}=0,25.}$

• Epistemología bayesiana