Analitika geometrio

Analitika geometrio, ankaŭ nomata koordinata geometrio kaj pli frue nomata kartezia geometrio, estas studo de geometrio uzanta la principojn de algebro. Kutime la karteziaj koordinatoj estas aplikitaj por manipuli ekvaciojn por ebenoj, rektoj, kurboj, cirkloj, en du, tri kaj iam en pli multaj dimensioj. Kiel instruite en lernejaj libroj, analitika geometrio povas esti eksplikita pli simple: ĝi okupiĝas pri difinado de geometriaj formoj en nombra vojo, kaj ekstraktante nombran informon de tiu prezento. La nombra elaĵo, tamen, povus ankaŭ esti vektoro aŭ formo. Iuj konsideras, ke la enkonduko de analitika geometrio estis la komenco de moderna matematiko.

Rene Descartes estas populare estimita kiel prezentinto de la fundamento por la metodoj de analitika geometrio en 1637 en apendico titolita Geometrio de verko titolita Traktato pri la metodo de ĝusta konduto de la kaŭzo en la serĉo por vero en la sciencoj, kutime mallongigita kiel Traktato pri metodo. Ĉi tiu verko, skribita en lia denaska lingvo franca lingvo, kaj ĝia filozofiaj principoj provizis la fundamenton por kalkulo en Eŭropo.

• Vektora spaco
• Difino de la ebeno
• Distanco-problemoj
• Skalara produto, por trovi angulon inter du vektoroj
• Vektora produto
• Komunaĵo-problemoj

Multaj el ĉi tiuj problemoj engaĝas linearan algebron

Jen ekzemplo de problemo de la USAMTS, kiu povas esti solvita per analitika geometrio:

Problemo: En konveksa kvinlatero ${\displaystyle ABCDE}$, la lateroj havas longojn 1, 2, 3, 4 kaj 5, kvankam ne bezone en tiu ordo). Estu ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$, kaj ${\displaystyle I}$ esti la mezpunktoj de la lateroj ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CD}$, kaj ${\displaystyle DE}$, respektive. Estu ${\displaystyle X}$ esti la mezpunkto de segmento ${\displaystyle FH}$, kaj ${\displaystyle Y}$ esti la mezpunkto de segmento ${\displaystyle GI}$. La longo de segmento ${\displaystyle XY}$ estas entjero. Trovi ĉiujn eblajn valorojn por la longo de ${\displaystyle AE}$.

Solvaĵo: Estu ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$, kaj ${\displaystyle E}$ troviĝi je ${\displaystyle A(0,0)}$, ${\displaystyle B(a,0)}$, ${\displaystyle C(b,e)}$, ${\displaystyle D(c,f)}$, kaj ${\displaystyle E(d,g)}$.

Laŭ la mezpunkta formulo, la punktoj ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle X}$, kaj ${\displaystyle Y}$ situas je

${\displaystyle F\left({\frac {a}{2}},0\right)}$, ${\displaystyle G\left({\frac {a+b}{2}},{\frac {e}{2}}\right)}$, ${\displaystyle H\left({\frac {b+c}{2}},{\frac {e+f}{2}}\right)}$, ${\displaystyle I\left({\frac {c+d}{2}},{\frac {f+g}{2}}\right)}$, ${\displaystyle X\left({\frac {a+b+c}{4}},{\frac {e+f}{4}}\right)}$, kaj ${\displaystyle Y\left({\frac {a+b+c+d}{4}},{\frac {e+f+g}{4}}\right)}$

Uzanta la distancan formulon,

${\displaystyle AE={\sqrt {d^{2}+g^{2}}}}$

kaj

${\displaystyle XY={\sqrt {{\frac {d^{2}}{16}}+{\frac {g^{2}}{16}}}}={\frac {\sqrt {d^{2}+g^{2}}}{4}}}$

Pro tio ke longo de ${\displaystyle XY}$ estas entjero,

${\displaystyle AE\equiv 0{\pmod {4}}}$

(vidu en modula aritmetiko), do ${\displaystyle AE=4}$.

Analitika geometrio, por algebra geometrio, estas ankaŭ la nomo por la teorio de (reela aŭ) kompleksaj sternaĵoj kaj la pli ĝeneralaj analitikaj spacoj difinitaj kiel lokoj de nuloj (nuligejoj) de analitikaj funkcioj de kelkaj kompleksaj variabloj (aŭ iam reelaj). Ĝi estas proksime ligita al algebra geometrio. Ĝi estas severe pli granda areo ol algebra geometrio, sed studata per similaj manieroj.

• Aksiomo de Cantor-Dedekind