Gegenring

Der Gegenring zu einem Ring ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie. Der Gegenring zu einem Ring entsteht dadurch, dass man bei der Multiplikation die Faktoren vertauscht.

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Ring. Dann wird der Gegenring ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ (engl. opposite ring) wie folgt definiert:^[1][2]

• Die unterliegende Menge von ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ ist ${\displaystyle R}$.
• Die Addition + auf ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ stimmt mit derjenigen auf ${\displaystyle R}$ überein.
• Die Multiplikation ${\displaystyle \circ }$ wird mittels der Multiplikation ${\displaystyle \cdot }$ von ${\displaystyle R}$ wie folgt definiert: ${\displaystyle a\circ b:=b\cdot a}$ für alle ${\displaystyle a,b\in R^{\operatorname {op} }}$.

${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ ist also im Wesentlichen der Ausgangsring, lediglich bei der Multiplikation wird gegenüber dem Ausgangsring die Reihenfolge der Faktoren vertauscht.

• Ist ${\displaystyle R}$ kommutativ, so ist offenbar ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }=R}$.
• Sätze über Linksideale in einem Ring ${\displaystyle R}$ sind Sätze über Rechtsideale in ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$. Daher gelten Sätze, die für alle Linksideale in allen Ringen gelten, auch für Rechtsideale in allen Ringen.
• Ist ${\displaystyle R}$ eine ${\displaystyle K}$-Algebra über einem Körper, so ist auch ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ eine solche Algebra, indem man für ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ dieselbe Vektorraumstruktur verwendet. Man spricht dann auch von der Gegenalgebra.
• Es sei ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n}(K)}$ die Algebra der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über einem Körper. Dann gilt für die Transposition ${\displaystyle A\mapsto A^{T}}$ bekanntlich die Regel ${\displaystyle (A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}}$. Das bedeutet, dass die Transposition ein Ringhomomorphismus ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n}(K)\rightarrow \mathrm {Mat} _{n}(K)^{\operatorname {op} }}$ ist, sogar ein Isomorphismus. Allgemeiner ist ein Antihomomorphismus ${\displaystyle R\rightarrow S}$ zwischen zwei Ringen ein Homomorphismus ${\displaystyle R\rightarrow S^{\operatorname {op} }}$ bzw. ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }\rightarrow S}$
• Im Allgemeinen sind ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ nicht isomorph. Beispiele findet man dort, wo gewisse Links-rechts-Symmetrien nicht gelten. So gibt es zum Beispiel linksnoethersche Ringe, die nicht rechtsnoethersch sind; solche Ringe können nicht zu ihrem Gegenring isomorph sein.
• Ist ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle R}$-Linksmodul, so wird ${\displaystyle M}$ durch die Definition ${\displaystyle m\cdot a:=am,\,a\in R,m\in M}$ zu einem ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$-Rechtsmodul.

1. ↑ Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Birkhäuser Verlag (2004), ISBN 3-0348-8962-3, Kapitel X, §8, Seite 331
2. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-12-599841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 0.1.11