Teorema de Donsker

En teoria de probabilitat, el teorema de Donsker (també conegut com principi d'invariància de Donsker, o teorema del límit central funcional), que du el nom del matemàtic estatunidenc Monroe D. Donsker, és una extensió funcional del teorema del límit central.

Sigui ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ una seqüència de variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes (i.i.d.) amb mitjana 0 i variància 1. Sigui ${\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ Es coneix com ruta aleatòria al procés estocàstic ${\displaystyle S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Defineixi's la ruta alelatòria escalada difusivament (procés de suma parcial) com

${\displaystyle W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].}$

El teorema del límit central afirma que ${\displaystyle W^{(n)}(1)}$ convergeix en distribució a una variable aleatòria gaussiana estàndard ${\displaystyle W(1)}$ a mesura que ${\displaystyle n\to \infty }$. El principi d'invariància de Donsker^[1][2] estén aquesta convergència a la funció sencera ${\displaystyle W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}}$. Més concretament, en la seva forma moderna, el principi d'invariància de Donsker afirma que: com que les variables aleatòries prenen valors en l'espai de Skorokhod ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$, la funció aleatòria ${\displaystyle W^{(n)}}$ convergeix en distribució al moviment brownià estàndard ${\displaystyle W:=(W(t))_{t\in [0,1]}}$ a mesura que ${\displaystyle n\to \infty .}$

Sigui Fn la funció de distribució empírica de la seqüència de variables aletòries i.i.d. ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ amb funció de distribució F. Defineixi's la versió centrada i escalada de Fn com

${\displaystyle G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$

indexada per x ∈ R. Segons el teorema del límit central clàssic, per una x fixada, la variable aleatòria G_n(x) convergeix en distribució a un variable aleatòria gaussiana (normal) G(x) amb mitjana zero i variància F(x)(1 − F(x)) a mesura que la mida de la mostra n creix.

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogórov) La seqüència de Gn(x), en tant que formada per elements dins de l'espai de Skorokhod ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )}$, convergeix en distribució a un procés gaussià G amb mitjana igual a zero i covariància donada per

${\displaystyle \operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)}$${\displaystyle {F}(t).}$

El procés G(x) pot ser escrit com B(F(x)) on B és un pont brownià estàndard en l'interval unitat.

Kolmogórov (1933) va demostrar que quan F és contínua, el suprem ${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}G_{n}(t)}$ i el suprem del valor absolut ${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|}$, convergeixen en distribució a les lleis d'iguals funcionals del pont brownià B(t), vegeu la prova de Kolmogórov–Smirnov. L'any 1949, Doob es va preguntar si la convergència en distribució també aplicava per a funcionals més generals i, per tant, va formular un problema de convergència dèbil de funcions aleatòries en un espai funcional adequat.^[3]

L'any 1952, Donsker va afirmar i va demostrar (no del tot correctament) una extensió general pel plantejament heurístic de Doob–Kolmogórov.^[4] En l'article original, Donsker va demostrar que la convergència en llei de G_n al pont brownià és correcte en distribucions uniformes en l'interval [0,1] respecte a la convergència uniforme en t en l'interval [0,1].^[2]

Tanmateix la formulació de Donsker no era ben bé correcta a causa del problema de la mesurabilitat dels funcionals de processos discontinus. L'any 1956 Skorokhod i Kolmogórov van definir una mètrica separable d, anomenada la mètrica de Skorokhod, en l'espai de funcions càdlàg en l'interval [0,1], tal que la convergència en d a una funció contínua és equivalent a la convergència de la norma sup, i va demostrar que G_n convergeix en llei en ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$ amb el pont brownià.

Més tard, Dudley va reformular el resultat de Donsker per evitar el problema de la mesurabilitat i la necessitat de la mètrica de Skorokhod. Es pot demostrar^[4] que existeix X_i, uniforme i iid en [0,1] i una seqüència de ponts brownians continus en mostra B_n, tals que

${\displaystyle \|G_{n}-B_{n}\|_{\infty }}$

és mesurable i convergeix en probabilitat a 0. Una versió millorada d'aquest resultat, que proporcionar més detall sobre el ritme de convergència, és l'aproximació de Komlós–Major–Tusnády.

• Prova de Kolmogórov-Smirnov