Tensor de Killing-Yano

En geometria riemannianna, un tensor de Killing-Yano és una generalització del concepte de vector de Killing a un tensor de dimensió superior. Van ser introduïts l'any 1952 per Kentaro Yano.^[1] Un tensor antisimètric d'ordre p ${\displaystyle f_{a_{1}a_{2}...a_{p}}}$és anomenat de Killing-Yano quan verifica l'equació:

${\displaystyle D_{b}f_{ca_{2}...a_{p}}+D_{c}f_{ba_{2}...a_{p}}=0\,}$

Aquesta equació difereix de la generalització habitual del concepte de vector de Killing a tensors d'ordre superior, anomenats tensors de Killing pel fet que la derivada covariant D és simetritzada amb un únic índex del tensor i no amb la seva totalitat, com és el cas per als tensors de Killing.

Tot vector de Killing és un tensor de Killing d'ordre 1 i un tensor de Killing-Yano.

El tensor completament antisimètric (anomenat tensor de Levi-Civita) ${\displaystyle \epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}}$, on n és la dimensió de la varietat, és un tensor de Killing-Yano, amb derivada covariant sempre nul·la.

Existeixen diverses maneres de construir els tensors de Killing (simètrics) a partir dels tensors de Killing-Yano

Primerament, es poden obtenir dos tensors de Killing trivials a partir de tensors de Killing-Yano :

• A partir d'un tensor de Killing-Yano d'ordre 1 ${\displaystyle \xi _{a}}$, es pot construir un tensor de Killing ${\displaystyle K_{ab}}$ d'ordre de 2 segons

${\displaystyle K_{ab}=\xi _{a}\xi _{b}}$

• A partir del tensor completament antisimètric${\displaystyle \epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}}$${\displaystyle \epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}}$, es pot construir el tensor de Killing trivial${\displaystyle \epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}}$

${\displaystyle K_{ab}=\epsilon _{ba_{2}...a_{n}}\epsilon ^{a_{2}...a_{n}c}g_{ca}=-6g_{ab}}$

De manera més interessant, a partir de dos tensors de Killing-Yano d'ordre 2 ${\displaystyle A_{ab}}$ i ${\displaystyle B_{ab}}$, es pot construir el tensor de Killing d'ordre 2 ${\displaystyle K_{ab}}$ segons

${\displaystyle K_{ab}=g^{cd}\left(A_{ac}B_{db}+B_{ac}A_{db}\right)}$

A partir d'un tensor de Killing-Yano d'ordre n-1, ${\displaystyle A_{a_{2}...a_{n}}}$, es pot construir el vector associat al sentit d'Hodge (veure Dualitat d'Hodge),

${\displaystyle A^{a}=\epsilon ^{aa_{2}...a_{n}}A_{a_{2}...a_{n}}}$

Del fet que el tensor ${\displaystyle A_{a_{2}...a_{n}}}$ és de Killing-Yano, el vector A no és Killing-Yano, però obeeix l'equació.

${\displaystyle D_{a}A_{b}={\frac {1}{n}}g_{ab}D_{c}A^{c}}$

Aquesta propietat permet construït un tensor de Killing ${\displaystyle K_{ab}}$ a partir de dos vectors com aquests, definit per:

${\displaystyle K_{ab}=A_{a}B_{b}+A_{b}B_{a}-2A^{c}B_{c}g_{ab}}$

Tota combinació lineal de tensors de Killing-Yano és igualment un tensor de Killing-Yano

Un cert nombre de propietats dels espaitemps quadridimensionnels implides en els tensors de Killing-Yano han estat exposades per C. D. Collinson i H. Stephani al voltant dels anys 1970.^[2] · ^[3] · ^[4]

• Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano no degenerat, llavors aquest pot escriure's sota la forma

${\displaystyle A_{ab}=X(l_{a}k_{b}-k_{a}l_{b})+iY(m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b})}$

on k, l, m i ${\displaystyle {\bar {m}}}$ formen una tètrade i les funcions X i Y obeeixen un cert nombre d'equacions diferencials. A més, el tensor de Killing-Yano va obeeix la relació següent amb el tensor de Ricci:^[3] · ^[4]

${\displaystyle R_{a}^{c}A_{cb}+R_{b}^{c}A_{ca}=0}$

• Les solucions a les equacions d'Einstein en el buit i de tipus D en la classificació de Petrov admeten un tensor de Killing i un tensor de Killing-Yano, tots dos d'ordre 2 i regits per la fórmula de més amunt.^[3] · ^[4]

• Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano d'ordre 2 degenerat ${\displaystyle A_{ab}}$, llavors aquest s'escriu segons la forma:

${\displaystyle A_{ab}=k_{a}p_{b}-p_{a}k_{b}}$

on k és un vector de Killing de gènere llum. El tensor de Weyl és en aquest cas de tipus N segons la classificació de Petrov, i k és el seu vector net no trivial. A més, a compleix la relació donada més amunt amb el tensor de Riemann.^[2] · ^[4]

• Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano d'ordre 3, llavors si el vector associat per dualitat de Hodge és un vector de gènere llum constant, llavors l'espai és conformament pla.^[2] · ^[4]

• Vector de Killing
• Tensor de Killing

• (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein's field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (ISBN 0521230411), pages 349 à 352.