Representació decimal

Aquest article proporcional una definició matemàtica. Per a un article més accessible, vegeu Nombre decimal.

Una representació decimal d'un nombre real no negatiu r és una expressió en forma d'una sèrie, que tradicionalment s'escriu com la suma

${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}}$

on a₀ és un enter no negatiu, i a₁, a₂, … són enters que satisfan 0 ≤ a_i ≤ 9, que hom anomena els dígits de la representació decimal. La successió de dígits pot ser finita, i en aquest cas els dígits posteriors a_i són 0. Alguns autors estan en contra de les representacions decimals amb una seqüència infinita de 9.^[1] Tot i aquesta restricció, encara existeix una representació decimal per a cada real no negatiu, i addicionalment fa que aquesta representació sigui única. El nombre que es defineix per una representació decimal s'acostuma a escriure:

${\displaystyle r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}\ldots }$

És a dir, a₀ és la part entera de r, no necessàriament entre 0 i 9, i a₁, a₂, a₃, … són els dígits que configuren la part fraccionària de r.

Totes dues notacions són, per definició, el següent límit:

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}}$.

Tot nombre real es pot aproximar, amb un grau arbitrari de precisió, per nombres racionals amb representacions decimals finites.

Suposem que ${\displaystyle x\geq 0}$. Llavors, per qualsevol enter ${\displaystyle n\geq 1}$ existeix un decimal finit ${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}$ tal que:

${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.\,}$

Demostració
Sigui ${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$, on ${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$.[nota 1] Llavors ${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$, i el resultat s'obté dividint les desigualtats per ${\displaystyle 10^{n}}$. (El fet que ${\displaystyle r_{n}}$ té una representació decimal finita és fàcil de comprovar.)

Alguns nombres reals tenen dues representacions decimals infinites. Per exemple, el nombre 1 es pot representar tant 1,000... com 0,999... (aquí, hem representat les seqüències infinites de 0 i de 9 per "...").

L'expansió decimal d'un nombre real no negatiu x finalitza smb zeros (o amb nous) si i només si x és un nombre racional amb denominador de la forma 2ⁿ5^m, on m i n són enters no negatius.

Demostració

Si l'expansió decimal de x finalitza amb zeros, o ${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}}$ per algun n, llavors el denominador de x és de la forma 10n = 2n5n. Recíprocament, si el denominador de x és de la forma 2n5m, llavors ${\displaystyle x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}$ per a algun p. Com que x és de la forma ${\displaystyle \textstyle {\frac {p}{10^{k}}}}$, llavors ${\displaystyle p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}}$ per algun n. Finalment, com que ${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}}$, x finalitza amb zeros.

Alguns nombres reals tenen representacions decimals on alguns (un o més) dígits es repeteixen:

¹/₃ = 0.33333...

¹/₇ = 0.142857142857...

¹³¹⁸/₁₈₅ = 7.1243243243...

Quan succeeix això, el nombre és un racional, és a dir, es pot representar pel quocient entre un enter i un enter positiu.

• El nombre real representat per 0,1234567891011121314151617... té una representació decimal previsible i no periòdica. Aquest real és la constant de Champernowne, anomenada així pel matemàtic anglès que la va inventar el 1933. Aquest nombre és irracional, transcendent (demostrat per Kurt Mahler el 1961) i normal en base 10.
• La constant de Copeland-Erdős 0,2357111317192329313741..., formada per la successió dels nombres primers, també és normal en base 10.
• El nombre real representat per 0,110001000000000000000001..., és a dir, al suma de les potències factorials negatives de 10 (10⁻¹ + 10⁻² + 10⁻⁶ + ...+ 10 ^-k! + ...) té un desenvolupament decimal previsible i no periòdic. Aquest nombre és la constant de Liouville, que és irracional i transcendent.
• Si hom escull a l'atzar, segons la distribució uniforme contínua, un nombre real entre 0 i 1, els dígits del seu desenvolupament decimal formen una seqüència de variables aleatòries independents sobre [0,9]. Aquest fet és la clau per la demostració del teorema del nombre normal de Borel. Arran d'aquesta demostració, Borel descobrí l'anomenat lema de Borel-Cantelli i demostrà la primera versió conegura de la llei forta dels grans nombres.

• Apostol, Tom M. Mathematical analysis.. 2d ed.. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1975. ISBN 978-0201002881. 

• Nombre decimal
• Sèrie (matemàtiques)
• IEEE 754
• Simon Stevin

• Plouffe's inverter Arxivat 2005-08-12 a Wayback Machine. intenta verificar un nombre a partir de la seva representació decimal. Per exemple, si s'hi introdueix 3,14159265 informarà que probablement prové del nombre π.