E (niver)

E matematik ez eo e un digemmenn a grog e skrivad degel gant 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4…. Diaz al logaritm naturel eo.

Anvadur :

• ${\displaystyle e}$ a vez anvet a-wechoù digemmenn Neper, eus anv ar matematikour skosad John Napier (pe Neper) en deus degaset al logaritm.
• ${\displaystyle e}$ a voe anvet niver eksponantel gant Euler e 1761.

An niver ${\displaystyle e}$ a zo sur-walc'h an digemmenn real bouezusañ e matematik goude pi : kavet e vez e normalizadur ar fonksionoù eksponantel. Diaes eo deiziañ ar wech kentañ m'eo deuet a-wel el lennegezh. E gwirionez, goude ma vefe bet degaset al (logaritm]] gant Neper evel rekipe jediñ evit aesaat jedadenn ar sinus, ar c'hosinus, ar produ hag ar rannad, met ne roas diaz resis ebet evit al logaritmoù-se hag al logaritmoù dezho an diaz 10 eo ar re a veze kavet peurliesañ d'ar mare-se.

Al logaritmoù naturel a zeuas war-wel evit ar wech kentañ e 1618 evel stagadenn da dretad Napier, skrivet gant William Oughtred sur a-walc'h.

E 1624 e roas Briggs un talvoud nesaet eus logaritm degel un niver ne zeue ket a-benn d'anavezout en un doare resis, met a ziskouezas bezañ ${\displaystyle e}$.

E 1647 e jedas Grégoire de Saint-Vincent ar gorread dindan an hiperbolenn, met ne anata ket an niver ${\displaystyle e}$.

E 1661 e voe gouest Huygens d'ober al liamm etre ar gorread dindan an hiperbolenn hag ar fonksionoù logaritm. Dre m'eo ${\displaystyle e}$ an niver real e doare ma vefe ar gorread dindan an hiperbolenn etre 1 hag ${\displaystyle e}$ kevatal da 1 ez eo posupl e vefe bet merzet an niver-se d'ar c'houlz-se, hep ma vije komzet eus outañ evel diaz al logaritm naturel avat.

Ar wech kentañ ma teuas ${\displaystyle e}$ a-wel evel niver heverk a zo e 1683, d'ar mare ma veze dedennet Bernoulli gant ar jedadoù interest. Ar pezh a gasas anezhañ da studiañ bevenn an heulienn ${\displaystyle (1+{\tfrac {1}{n}})^{n}}$. Met den ebet d'ar c'houlz-se ne ra al liamm etre an niver-se hag al logaritm naturel. Padal ez eo e-pad ar c'houlz-se ma voe kroget da verzout ez eo ar fonksion logaritm dezhi an diaz ${\displaystyle a}$ resiprokenn ar fonksion eksponantel dezhi an diaz ${\displaystyle a}$. Prest e oa neuze kumuniezh ar skiantourien da zizoleiñ ${\displaystyle e}$. A-benn ar fin ez eo en ul lizher eus Leibniz da Huygens e voe anavezet an niver-mañ evel diaz al logaritm naturel, met anvet e voe ${\displaystyle b}$ gant Liebniz.

Gant Euler e voe degaset en an notadur ${\displaystyle e}$ evit an digemmenn-se en ul lizher a gasas da Goldbach e 1731. Meur a vartezeadenn a zo bet savet da zisplegañ choaz al lizherenn ${\displaystyle e}$ : ${\displaystyle e}$ evit Euler ? ${\displaystyle e}$ evit eksponantel ? pe marteze e oa ${\displaystyle e}$ ar c'hentañ vogalenn vak e labour Euler.

Euler eo ivez a ro diorren ${\displaystyle e}$ e serienn

${\displaystyle e=1+{\dfrac {1}{1!}}+{\dfrac {1}{2!}}+\cdots +{\dfrac {1}{k!}}+\cdots }$

hag e kevrenn gendalc'hus :

${\displaystyle e=2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{6+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

Dre m'en deus ${\displaystyle e}$ un diorren e kevrenn gendalc'hus anfin ez eo un niver anrasional. Gant aproksimantoù Padé e c'heller kinnig eztaolioù niverus eus e dindan stumm ur gevrenn gendalc'hus hollekaet. Gallout a ra neuze da Charles Hermite prouiñ trehonted an niver-se e 1873.

Kresket eo an niver a zegelennoù anavezet eus ${\displaystyle e}$ (an niver a sifroù goude ar virgulenn) en un doare bamus e-kerzh an dekvedoù diwezhañ. Daou abeg da se war un dro : galloud an urzhiaterezioù o vont war gresk hag an algoritmoù o vont war wellaat^[1],[2].

An displegadennoù a-us a ziskouez e c'hell ${\displaystyle e}$ bezañ skrivet e meur a zoare disheñvel.

• ${\displaystyle e}$ eo an niver real gant ${\displaystyle \ln(e)=1}$ pa dermener ar fonksion ${\displaystyle \ln }$ evel primitivenn ar fonksion ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{x}}}$ a zo nullet en 1. Setu perak ez eo anvet ar fonksion-se diaz al logaritmoù naturel.
• ${\displaystyle e}$ eo an niver real gant ${\displaystyle \exp(1)=e}$ pa dermener ar fonksion ${\displaystyle \exp }$ evel fonksion nemeti a wir ${\displaystyle u'=u}$ hag ${\displaystyle u(0)=1}$.
• ${\displaystyle e}$ eo bevenn an heulienn ${\displaystyle (1+{\tfrac {1}{n}})^{n}}$.
• ${\displaystyle e}$ a zo par da sammad ar serienn anfin ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{k!}}}$ (gant ar c'henemglev ${\displaystyle 0!=1}$).

Ekwivalañs ar pevar zermenadur-se a zeu eus al liammadennoù etre ar fonksion eksponantel, ar fonksion logaritm ha bevenn an heuliennoù.

Digemmenn Neper a gaver stank e teorienn an niveroù. Ar vatematikourien a zo bet dedennet abred-tre gant natur an niver ${\displaystyle e}$. Anrasionalder ${\displaystyle e}$ a zo bet diskouezhet gant Euler^[6] e 1737 hag anrasionalder e c'halloudoù anterin gant Lambert e 1761^[7]. Ar brouadenn a c'heller ober gant an diorren e serienn (gwelet prouadur anrasionalder e amañ dindan), pe gant an diorren e kevrenn gendalc'hus.

Prouadur trehonted ${\displaystyle e}$ a voe diazezet gant Hermite e 1873. Deduiñ a reer alese ez eo ${\displaystyle e^{r}}$ trehontel ivez evit forzh peseurt niver rasional ${\displaystyle r}$ nann null (an niveroù anterin hag all), met ne ouier ket c'hoazh (2007) hag-eñ ez eo ${\displaystyle e^{e}}$ trehontel pe get.

War berzhioù an niver-se eo diazezet teorem Lindemann-Weierstrass.

Konjekturet ez eus bet ez eo ${\displaystyle e}$ un niver normal

Evit forzh peseurt niver real ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ 'lec'h m'eo ${\displaystyle \exp }$ ar fonksion ${\displaystyle y}$ nemeti a wir ar gevatalenn diferañsial ${\displaystyle y'=y}$ ha ${\displaystyle y(0)=1}$. Ober a reer fonksion eksponantel dezhi an diaz ${\displaystyle e}$ eus ar fonksion-se.

Ganti e c'heller reiñ holl diskoulmoù ar gevatalenn diferañsial ${\displaystyle y'=ay}$ hag a zo ar fonksionoù termenet gant ${\displaystyle f(x)=Ce^{ax}}$.

An diorren e serienn a-heul a zo d'ar fonksion eksponantel :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=e^{x}}$

Gant klask an diskoulm kompleksel nemetañ d'ar gevatalenn diferañsial ${\displaystyle u'=iu}$ ha ${\displaystyle u(0)=1}$ e vezer kaset d'ar fonksion ${\displaystyle u(x)=e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}$ ha da identelezh Euler :

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

a zo hervez Richard Feynman ar "formulenn heverkañ er bed"^[8] (e o tiskouez an analizerezh, i an aljebr, ${\displaystyle \pi }$ ar c'heometriezh, 1 an aritmetik hag an niver 0 ar matematik). Euler e-unan a vefe chomet bamet ivez gant al liammadenn-se, pemp niver diazez enni : 0, 1, ${\displaystyle {e}}$, ${\displaystyle {i}}$, ${\displaystyle {\pi }}$.

An niver ${\displaystyle e}$ a zo kevatal da sammad serienn eksponantel 1 :

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}}$

An diorren-se a c'heller implijout evit diskouez ez eo anrasional.

Proueadur dre zislavar (ab absurdo). Goulakomp ez eus daou niver anterin ${\displaystyle a}$ ha ${\displaystyle b}$ e doare ma vefe ${\displaystyle e={\tfrac {a}{b}}}$, gant ${\displaystyle a}$ pozitivel strizh ha ${\displaystyle b}$ brasoc'h strizh eget 1.

Pledomp gant an niver

${\displaystyle x=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)}$

Prouet e vo ez eo ${\displaystyle x}$ un niver anterin pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1, ha gant an dislavar-se e vo diazezet anrasionalder ${\displaystyle e}$.

• Evit gwelet ez eo ${\displaystyle x}$ un niver anterin, merzomp ez eo

${\displaystyle x=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)=b\,!\left({\dfrac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)=a{\dfrac {b!}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {b!}{n!}}}$

Hogen, ${\displaystyle b}$ a rann ${\displaystyle b!}$ hag, evit forzh peseurt niver anterin ${\displaystyle n}$ etre 0 ha ${\displaystyle b}$ ez eo ${\displaystyle b!}$ rannapl dre ${\displaystyle n!}$, ar c'hementadoù ${\displaystyle {\tfrac {b!}{b}}}$ ha ${\displaystyle {\tfrac {b!}{n!}}}$ a zo neuze anterin, ${\displaystyle x}$ a zo neuze anterin evel sammad ha diforc'h niveroù anterin.

• Evit gwelet ez eo ${\displaystyle x}$ un niver pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1, merzomp ez eo

${\displaystyle x=b\,!\sum _{n=b+1}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}}$ ha dre se

${\displaystyle 0<x={\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots }$

${\displaystyle <{\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)^{2}}}+{\dfrac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={\dfrac {1}{b}}\ <1}$

Amañ ez eo ar sammad diwezhañ-mañ ur serienn c'heometrek ${\displaystyle {\dfrac {1}{b+1}}}$ he faz.

Dre ma n'eus niver anterin ebet pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1 ez eus un dislavar, ha dre se ez eo ${\displaystyle e}$ anrasional.

1. ↑ Sebah, P. and Gourdon, X.; (en)The constant e and its computation
2. ↑ Gourdon, X.; (en)Reported large computations with PiFast
3. ↑ (en)New Scientist 21st July 2007 p. 40
4. ↑ (en)Byte Magazine Vol. 6, Issue 6 (June 1981) p. 392) "The Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer"
5. ↑ ^5,0 ha^5,1 English Version of PI WORLD
6. ↑ Ed Sandifer, How Euler did it.
7. ↑ Alain Juhel, Lambert ha dirasionelezh Pi (1761).
8. ↑ Equations as icons

• Eksponantel
• Logaritm