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O teorema de Simson-Wallace recebe do matemático escocês e professor de matemática da Universidade de Glasgow Robert Simson (14 de outubro de 1687 - 1 de outubro de 1768) e do matemático, astrônomo e inventor do pantografo William Wallace (23 de setembro de 1768 - 28 de abril de 1843). Além do teorema, tanto Simson quanto Wallace tiveram grandes contribuições matemáticas como, por exemplo, uma demonstração para o depois ia ser conhecido como o teorema de Bolyai-Gerwien. O teorema explica quando o triângulo pedal de um ponto é degenerado.

Dado um triângulo ${\displaystyle ABC}$ e um ponto ${\displaystyle P}$ não situado sobre as retas suportes de seus lados, o triângulo pedal de ${\displaystyle P}$ em relação a ${\displaystyle ABC}$ é degenerado se, e somente se, ${\displaystyle P}$ estiver sobre o círculo circunscrito a ${\displaystyle ABC}$.

Suponha, sem perda de generalidade, que ${\displaystyle P}$ é exterior ao triângulo ${\displaystyle ABC}$ e está situado na região angular ${\displaystyle A{\hat {B}}C}$. Considere os pontos ${\displaystyle M,N}$ e ${\displaystyle O}$ os pés das perpendiculares baixadas de ${\displaystyle P}$ com relação as retas suportes dos lados ${\displaystyle BC,AC}$ e ${\displaystyle AB}$ respectivamente. Suponha que, sem perda de generalidade que ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ estão nos segmentos ${\displaystyle BC}$ e ${\displaystyle AC}$ e que ${\displaystyle O}$ está no prolongamento de ${\displaystyle AB}$. Como ${\displaystyle P{\hat {O}}A=P{\hat {N}}A=90^{\circ }}$, o quadrilátero ${\displaystyle ANPO}$ é inscritível. De modo análogo, temos que ${\displaystyle PNMC}$ também é inscritível. Então,

${\displaystyle A{\hat {P}}C-M{\hat {P}}O=M{\hat {P}}C-O{\hat {P}}C=M{\hat {N}}C-O{\hat {N}}A}$.

Ou seja,

${\displaystyle A{\hat {P}}C=M{\hat {P}}O\Leftrightarrow M{\hat {N}}C=O{\hat {N}}A\Leftrightarrow M,N}$ e ${\displaystyle O}$são colineares.

Daí, calculando a soma dos ângulos internas de ${\displaystyle BCPO}$, temos ${\displaystyle M{\hat {P}}O=180^{\circ }-A{\hat {B}}C}$, de modo que

${\displaystyle A{\hat {P}}C=M{\hat {P}}O\Leftrightarrow M{\hat {P}}O+A{\hat {B}}C=180^{\circ }\Leftrightarrow ABCP}$ é inscritível. ${\displaystyle _{\Box }}$

A reta determinada por ${\displaystyle M,N}$ e ${\displaystyle O}$ recebe o nome de reta de Simson-Wallace relativa ao ponto ${\displaystyle P}$.

• CAMINHA, Antonio . Tópicos de Matemática Elementar Volume 2 - Geometria Euclidiana Plana - 2a Edição. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2013. v. 2. 464p