O teorema de Papo,^[1] mais conhecido como teorema de Pappus,^[2] atribuído a Papo (ou Pappus) de Alexandria, é um teorema de geometria projetiva do plano sobre o alinhamento de três pontos:

Dado um conjunto de pontos colineares A, B, C, e um outro conjunto de pontos colineares a, b, c, os pontos de intersecção x, y, z dos pares de retas
Ab-aB, Ac-aC e Bc - bC também serão colineares.

A dualidade desse teorema afirma que:

Dado um conjunto de linhas concorrentes A, B, C, e um outro conjunto de linhas concorrentes a, b, c, então as linhas x, y, z definidas pelos pares de pontos resultantes dos pares de intersecção (A∩b, a∩B), (A∩c , a∩C) e (B∩c, b∩C) são concorrentes.

A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade.

Vamos considerar seis linhas em um plano projetado: U, V, W, X, Y, e Z. Então o teorema pode ser expresso como:

Se

(1) os pontos equivalentes as intersecções de U com V, X com W, e Y com Z são colineares,

e se

(2) os pontos equivalentes as intersecções de U com Z, X com V, e Y com W são colineares, então

deve ser verdade que

(3) os pontos equivalentes a intersecções de U com W, X com Z, e Y com V são colineares.

Simbolicamente, o teorema de papus afirma o seguinte:

Se

${\displaystyle \langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle =0}$

e se

${\displaystyle \langle U\times Z,X\times V,Y\times W\rangle =0}$

então

${\displaystyle \langle U\times W,X\times Z,Y\times V\rangle =0.}$

Sendo

${\displaystyle \alpha =\langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle }$

${\displaystyle \beta =\langle U\times Z,X\times V,Y\times W\rangle }$

${\displaystyle \gamma =\langle U\times W,X\times Z,Y\times V\rangle }$

Nós temos que demonstrar que se ${\displaystyle \alpha }$ = 0 e ${\displaystyle \beta }$ = 0, então ${\displaystyle \gamma }$ = 0.

Utilizando a identidade

${\displaystyle \langle A,B,C\rangle =\langle C,A,B\rangle =\langle B,C,A\rangle }$

podemos expressar ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, e ${\displaystyle \gamma }$ na seguinte forma equivalente:

${\displaystyle \alpha =\langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle }$

${\displaystyle \beta =\langle Y\times W,U\times Z,X\times V\rangle }$

${\displaystyle \gamma =\langle X\times Z,Y\times V,U\times W\rangle }$

Aplicando as propriedades

${\displaystyle \langle A,B,C\rangle =A\cdot (B\times C)}$

${\displaystyle A\times (B\times C)=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C}$

obtemos

${\displaystyle \alpha =(U\times V)\cdot ((X\times W)\times (Y\times Z))}$

${\displaystyle \beta =(Y\times W)\cdot ((U\times Z)\times (X\times V))}$

${\displaystyle \gamma =(X\times Z)\cdot ((Y\times V)\times (U\times W))}$

e então

${\displaystyle \alpha =(U\times V)\cdot (\langle X,W,Z\rangle Y-\langle X,W,Y\rangle Z)}$

${\displaystyle \beta =(Y\times W)\cdot (\langle U,Z,V\rangle X-\langle U,Z,X\rangle V)}$

${\displaystyle \gamma =(X\times Z)\cdot (\langle Y,V,W\rangle U-\langle Y,V,U\rangle W)}$

Usando a propriedade distributiva do produto escalar:

${\displaystyle \alpha =\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle -\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle }$

${\displaystyle \beta =\langle U,Z,V\rangle \langle Y,W,X\rangle -\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle }$

${\displaystyle \gamma =\langle Y,V,W\rangle \langle X,Z,U\rangle -\langle Y,V,U\rangle \langle X,Z,W\rangle }$

Com as identidades

${\displaystyle \langle A,B,C\rangle =\langle C,A,B\rangle =\langle B,C,A\rangle }$

${\displaystyle \langle A,B,C\rangle =-\langle A,C,B\rangle =-\langle C,B,A\rangle =-\langle B,A,C\rangle }$

Podemos permutar os termos como segue:

${\displaystyle \alpha =\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle -\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle }$

${\displaystyle \beta =-\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle +\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle }$

${\displaystyle \gamma =\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle -\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle }$

Agora podemos somar as equações para obter:

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0}$

${\displaystyle \gamma =-(\alpha +\beta )}$

de onde segue que se ${\displaystyle \alpha }$ = 0 e ${\displaystyle \beta }$ = 0, então ${\displaystyle \gamma }$ = 0.