O produto fibrado (ou pullback) é uma construção de teoria das categorias.

Dadas duas setas ${\displaystyle f:b\rightarrow a}$ e ${\displaystyle g:c\rightarrow a}$, de uma categoria C qualquer, com destino comum ${\displaystyle a}$, o produto fibrado de ${\displaystyle (f,g)}$ é um objeto ${\displaystyle b\times _{a}c}$ e duas setas ${\displaystyle p:b\times _{a}c\rightarrow b}$ e ${\displaystyle q:b\times _{a}c\rightarrow c}$ tal que:

1. ${\displaystyle f\circ p=g\circ q}$, onde ${\displaystyle f\circ p,g\circ q:b\times _{a}c\rightarrow a}$;
2. Para qualquer outra tripla ${\displaystyle (d,h:d\rightarrow b,k:d\rightarrow c)}$ tal que ${\displaystyle g\circ k=f\circ h}$, existe uma única seta ${\displaystyle \langle h,k\rangle _{a}:d\rightarrow b\times _{a}c}$ tal que ${\displaystyle p\circ \langle h,k\rangle _{a}=h}$ e ${\displaystyle q\circ \langle h,k\rangle _{a}=k}$.

Neste caso, diz-se que $${\displaystyle {\begin{matrix}b\times _{a}c&{\overset {q}{\to }}&c\\\downarrow p&&\downarrow g\\b&{\overset {f}{\to }}&a\end{matrix}}}$$ é quadrado de produto fibrado.

O conceito dual do produto fibrado é a soma amalgamada.

Como o produto fibrado é caso particular do limite em teoria das categorias, produtos fibrados (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.^[1]

Na categoria dos conjuntos o produto fibrado de ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ é o conjunto ${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}}$, com as restrições das projeções ${\displaystyle p_{1}}$ e ${\displaystyle p_{2}}$ a ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$.

Pullbacks podem ser concatenados. Mais precisamente, dado diagrama comutativo numa categoria qualquer $${\displaystyle {\begin{matrix}A&\to &C&\to &E\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\B&\to &D&\to &F\end{matrix}}}$$se os quadrados ABCD e CDEF são diagramas de produto fibrado, então o retângulo exterior ABEF também é. Ainda mais, se o retângulo exterior ABEF e o quadrado direito CDEF são diagramas de produto fibrado, então o quadrado esquerdo ABCD também é.^[2]

Há também o conceito de produto fibrado para mais de dois morfismos. Seja família ${\displaystyle \{g_{i}:a_{i}\to b\}_{i\in I}}$ de morfismos na categoria ${\displaystyle C}$. Um produto fibrado (ou pullback) dessa família é um objeto ${\displaystyle a\in C}$, junto a outra família de morfismos ${\displaystyle \{f_{i}:a\to a_{i}\}_{i\in I}}$ e um morfismo ${\displaystyle f:a\to b}$, tal que:

• ${\displaystyle g_{i}\circ f_{i}=f}$ para qualquer índice ${\displaystyle i\in I}$;
• para qualquer família ${\displaystyle \{f'_{i}:a'\to a_{i}\}_{i\in I}}$ de morfismos e morfismo ${\displaystyle f':a'\to b}$ tais que ${\displaystyle g_{i}\circ f'_{i}=f'}$ para qualquer índice ${\displaystyle i\in I}$, há único morfismo ${\displaystyle h:a'\to a}$ tal que ${\displaystyle f'=f\circ h}$ e ${\displaystyle f'_{i}=f_{i}\circ h}$ para cada ${\displaystyle i\in I}$.^[3]

O morfismo ${\displaystyle f:a\to b}$ (que só foi explicitado acima para o caso ${\displaystyle I=\emptyset }$) também é chamado de pullback.

• Matemática
• Ciência da computação

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• «Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani» (PDF) 

• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.] 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.

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