DOKUMEN123.COM

Em matemática e, em especial, em análise funcional um operador linear limitado é uma transformação linear $T:X\longrightarrow Y$ entre espaços vetoriais topológicos $X$ e $Y$ que aplica subconjuntos limitados de $X$ em subconjuntos limitados de $Y$ . Em particular, se $X$ e $Y$ são espaços normados, então $T$ é limitado se, e somente se, existe $M>0$ tal que

\|Tx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X},\ \forall x\in X.

Em espaços vetoriais normados

Seja $T:X\to Y\,$ uma transformação linear entre espaços normados $X$ e $Y$ . Então $T$ é um operador linear limitado se existe $M>0$ tal que

\|Tx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X},\ \forall x\in X.

Denotamos por ${\mathcal {L}}(X,Y)$ o espaço vetorial de todos os operadores lineares limitados de $X$ em $Y$ . Define-se a norma de um operador linear limitado por

\|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}:=\sup _{\stackrel {x\in X}{x\neq 0}}{\frac {\|Tx\|_{Y}}{\|x\|_{X}}}.

Pode-se provar que se $T\in {\mathcal {L}}(X,Y)$ , então

\|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}=\sup _{\stackrel {x\in X}{\|x\|\leq 10}}\|Tx\|_{Y}=\sup _{\stackrel {x\in X}{\|x\|=1}}\|Tx\|_{Y}.

Proposição^[1] — Seja $T:X\longrightarrow Y$ um operador linear entre espaços normados. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

$T$ é limitada.
$T$ é uniformemente contínuo.
$T$ é contínuo na origem.

Prova

( $1\Rightarrow 2$ ) Dado $\varepsilon >0$ , se $x,y\in X$ , então

\|Tx-Ty\|_{Y}=\|T(x-y)\|_{Y}\leq M\|x-y\|_{X}.

Portanto, basta tomar $\delta <{\frac {\varepsilon }{M}}$ que temos a continuidade uniforme.

( $2\Rightarrow 3$ ) É óbvio.

( $3\Rightarrow 1$ ) Como $T$ é contínuo na origem, existe $\delta >0$ tal que

\|Tx\|_{Y}<1,

sempre que

\|x\|_{X}<\delta .

Com isso, dado $x\neq 0$ , tome $y={\frac {x}{2\|x\|_{X}}}\delta$ . Assim, $\|y\|_{X}<\delta /2$ e consequentemente

\|Ty\|_{Y}<1\Rightarrow \left\|T\left({\frac {x}{2\|x\|_{X}}}\delta \right)\right\|_{Y}<1\Rightarrow {\frac {\delta }{2\|x\|_{X}}}\|Tx\|_{Y}<1.

Donde, $\|Tx\|_{Y}<{\frac {2}{\delta }}\|x\|_{X}.$ Logo, $T$ satisfaz a definição de limitado com a constante $M=2/\delta .$

Por causa deste resultado, usamos a nomenclatura operador linear limitado e operador linear contínuo indistintamente.

Propriedades

Se $X$ é um espaço normado e $Y$ é um espaço de Banach, então ${\mathcal {L}}(X,Y)$ também é um espaço de Banach.

${\mathcal {L}}(X,\mathbb {R} )$ é chamado de dual topológico de $X$ e é denotado simplesmente por $X^{\ast }.$ ^{[nota 1]}

Dados $x^{\ast }\in X^{\ast }$ e $x\in X$ , constuma-se usar a notação $\langle x^{\ast },x\rangle _{X^{\ast },X}$ , ou simplesmente $\langle x^{\ast },x\rangle$ , ao invés de $x^{\ast }(x)$ .

Se $X\,$ é um espaço de dimensão finita, então todo operador linear é limitado

Se $X\,$ é um espaço de dimensão infinita, então o axioma da escolha garante a existência de operadores lineares não limitados definidos em todo o espaço.

Todo operador linear limitado é fechado.

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.

Notas

↑ Alguns textos usam a notação $X'$ para o dual topológico ao invés de $X^{\ast }$ .

Referências

↑ Biezuner 2009, p. 12.

Bibliografia

Biezuner, Rodney Josué (2009). Notas de Aula Análise Funcional (PDF). [S.l.: s.n.]

Brézis, Haïm (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7. doi:10.1007/978-0-387-70914-7

Kesavan, Srinivasan (2015). Topics in Functional Analysis and Applications second ed. [S.l.]: New Age International Publishers. ISBN 978-81-224-3797-3
Kreyszig, Erwin (1989). Introductory functional analysis with applications. New York: Wiley. ISBN 978-0471504597

[2] Alguns textos usam a notação $X'$ para o dual topológico ao invés de $X^{\ast }$ .

[FOOTNOTEBiezuner200912-1] Biezuner 2009, p. 12.

[1]

[nota 1]