O lema da serpente é uma ferramenta utilizada na matemática, particularmente na álgebra homológica, para construir sequências exatas longas. O lema da serpente é válido em toda categoria abeliana e é uma ferramenta crucial na álgebra homológica e em suas aplicações, por exemplo, na topologia algébrica. Homomorfismos construídos com a sua ajuda são geralmente chamados de homomorfismos de conexão.

Numa categoria abeliana (como a categoria de grupos abelianos ou a categoria de espaços vetoriais sobre um determinado corpo), considere um diagrama comutativo:

onde as linhas são sequências exatas e 0 é o objeto nulo.

Então, existe uma sequência exata relacionando os núcleos e os conúcleos de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, e ${\displaystyle c}$:^[1] $${\displaystyle \ker(f)~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} g'}$$ onde ${\displaystyle d}$ é um homomorfismo, conhecido como homomorfismo de conexão.

Além disso, se o morfismo ${\displaystyle f}$ é um monomorfismo, então também o é o morfismo ${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b}$, e se ${\displaystyle g'}$ é um epimorfismo, então também o é ${\displaystyle \operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$.

Os conúcleos aqui são: ${\displaystyle \operatorname {coker} a=A'/\operatorname {im} a}$, ${\displaystyle \operatorname {coker} b=B'/\operatorname {im} b}$, ${\displaystyle \operatorname {coker} c=C'/\operatorname {im} c}$.

Para ver de onde o lema da serpente tira seu nome, expanda o diagrama acima da seguinte maneira:

e então a sequência exata, que é a conclusão do lema, pode ser desenhada neste diagrama expandido no formato de um "S" invertido de uma serpente rastejante.

As aplicações entre os núcleos e as aplicações entre os conúcleos são induzidas de maneira natural pelas aplicações (horizontais) dadas, devido à comutatividade do diagrama. A exatidão das duas sequências induzidas segue de maneira direta a partir da exatidão das linhas do diagrama original. A afirmação mais importante do lema é a de que existe um homomorfismo de conexão ${\displaystyle d}$ que completa a sequência exata.

No caso de grupos abelianos ou módulos sobre algum anel, a aplicação ${\displaystyle d}$ pode ser construída da seguinte forma:

Escolha um elemento ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle \operatorname {ker} c}$ e encare-o como um elemento de ${\displaystyle C}$. Como ${\displaystyle g}$ é sobrejetivo, existe um ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle B}$ com ${\displaystyle g(y)=x}$. Pela comutatividade do diagrama, temos ${\displaystyle g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0}$ (já que ${\displaystyle x}$ está no núcleo de ${\displaystyle c}$), e, portanto, ${\displaystyle b(y)}$ está no núcleo de ${\displaystyle g'}$. Como a linha inferior é exata, encontramos um elemento ${\displaystyle z}$ em ${\displaystyle A'}$ com ${\displaystyle f'(z)=b(y)}$. Pela injetividade de ${\displaystyle f'}$, ${\displaystyle z}$ é único. Definimos então ${\displaystyle d(x)=z+\operatorname {im} (a)}$. Agora deve-se verificar que ${\displaystyle d}$ está bem definido (ou seja, ${\displaystyle d(x)}$ depende apenas de ${\displaystyle x}$ e não da escolha de ${\displaystyle y}$), que é um homomorfismo, e que a sequência longa resultante é de fato exata. Pode-se verificar rotineiramente a exatidão através da perseguição no diagrama (veja a demonstração do Lema 9.1 em^[2]).

Uma vez feito isso, o teorema estará provado para grupos abelianos ou módulos sobre um anel. Para o caso geral, o argumento pode ser reformulado em termos de propriedades de setas e de cancelamento, em vez de elementos. Alternativamente, pode-se invocar o Teorema da imersão de Mitchell.

Nas aplicações, frequentemente é necessário mostrar que as sequências exatas longas são "naturais" (no sentido das transformações naturais). Isso decorre da naturalidade da sequência produzida pelo lema da serpente.

Se

é um diagrama comutativo com linhas exatas, então o lema da serpente pode ser aplicado duas vezes, na "frente" e "atrás", produzindo duas sequências exatas longas; estas estão relacionadas por um diagrama comutativo da forma:

Seja ${\displaystyle k}$ um corpo e ${\displaystyle V}$ um ${\displaystyle k}$-espaço vetorial. ${\displaystyle V}$ é um ${\displaystyle k[t]}$-módulo através de ${\displaystyle t:V\to V}$ sendo uma transformação ${\displaystyle k}$-linear, logo, podemos aplicar o produto tensorial em ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle k}$ sobre ${\displaystyle k[t]}$.

${\displaystyle V\otimes _{k[t]}k=V\otimes _{k[t]}(k[t]/(t))=V/tV=\operatorname {coker} (t).}$

Dada uma sequência exata curta de ${\displaystyle k}$-espaços vetoriais ${\displaystyle 0\to M\to N\to P\to 0}$, podemos induzir uma sequência exata ${\displaystyle M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$ pela exatidão à direita do produto tensorial. Porém, a sequência ${\displaystyle 0\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$ não é exata em geral. Consequentemente, surge uma pergunta natural. Por que esta sequência não é exata?

De acordo com o diagrama acima, podemos induzir uma sequência exata ${\displaystyle \ker(t_{M})\to \ker(t_{N})\to \ker(t_{P})\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$ aplicando o lema da serpente. Assim, o lema da serpente reflete a falha do produto tensorial em ser exato.

A sustentação do lema da serpente na categoria dos grupos depende da definição de conúcleo. Se ${\displaystyle f:A\to B}$ é um homomorfismo de grupos, a propriedade universal do conúcleo é satisfeita pela aplicação natural ${\displaystyle B\to B/N(\operatorname {im} f)}$, onde ${\displaystyle N(\operatorname {im} f)}$ é o fecho normal da imagem de ${\displaystyle f}$. O lema da serpente falha com esta definição de conúcleo: O homomorfismo de conexão ainda pode ser definido, e pode-se escrever uma sequência como no enunciado do lema da serpente. Este será sempre um complexo de cadeias, mas pode falhar em ser exato.

Se alguém simplesmente substituir os conúcleos no enunciado do lema da serpente pelas classes laterais (à direita) ${\displaystyle A'/\operatorname {im} a,B'/\operatorname {im} b,C'/\operatorname {im} c}$, o lema continua válido. Os quocientes, no entanto, não são grupos, mas sim conjuntos pontuados (uma sequência curta ${\displaystyle (X,x)\to (Y,y)\to (Z,z)}$ de conjuntos pontuados com aplicações ${\displaystyle f:X\to Y}$ e ${\displaystyle g:Y\to Z}$ é chamada exata se ${\displaystyle f(X)=g^{-1}(z)}$).

Considere o grupo alternante ${\displaystyle A_{5}}$: este contém um subgrupo isomorfo ao grupo simétrico ${\displaystyle S_{3}}$, que por sua vez pode ser escrito como um produto semidireto de grupos cíclicos: ${\displaystyle S_{3}\simeq C_{3}\rtimes C_{2}}$.^[3] Isso dá origem ao seguinte diagrama com linhas exatas:

${\displaystyle {\begin{matrix}&1&\to &C_{3}&\to &C_{3}&\to 1\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1\to &1&\to &S_{3}&\to &A_{5}\end{matrix}}}$

Note que a coluna do meio não é exata: ${\displaystyle C_{2}}$ não é um subgrupo normal no produto semidireto.

Como ${\displaystyle A_{5}}$ é simples, a seta vertical à direita tem conúcleo trivial. Enquanto isso, o grupo quociente ${\displaystyle S_{3}/C_{3}}$ é isomorfo a ${\displaystyle C_{2}}$. A sequência no enunciado do lema da serpente é, portanto:

${\displaystyle 1\longrightarrow 1\longrightarrow 1\longrightarrow 1\longrightarrow C_{2}\longrightarrow 1}$,

que de fato falha em ser exata.

A demonstração do lema da serpente é ensinada pela personagem de Jill Clayburgh bem no início do filme de 1980 It's My Turn.^[4]

• Lema do zig-zag

• Lang, Serge (2002). «III §9 The Snake Lemma». Algebra 3ª ed. [S.l.]: Springer. pp. 157–9. ISBN 978-0-387-95385-4 
• Atiyah, M.F.; Macdonald, I. G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. [S.l.]: Addison–Wesley. ISBN 0-201-00361-9 
• Hilton, P.; Stammbach, U. (1997). A course in homological algebra. Col: Graduate Texts in Mathematics. [S.l.]: Springer. p. 99. ISBN 0-387-94823-6 

• Weisstein, Eric W. «Snake Lemma». MathWorld (em inglês) 
• Snake Lemma no nLab
• Demonstração do Lema da Serpente no filme It's My Turn