Na geometria algébrica real, uma função de Nash num subconjunto semialgébrico aberto ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ é uma função analítica ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ que satisfaz uma equação polinomial não trivial ${\displaystyle P(x,f(x))=0}$ para todo ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle U}$. (Um subconjunto semialgébrico de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é um subconjunto obtido a partir de subconjuntos da forma ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:P(x)=0\}}$ ou ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:P(x)>0\}}$, onde ${\displaystyle P}$ é um polinômio, tomando-se uniões finitas, interseções finitas e complementos)^[1][2][3]. Alguns exemplos de funções de Nash:

• Funções polinomiais e racionais regulares são funções de Nash.
• ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {1+x^{2}}}}$ é uma função de Nash em ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• A função que associa a uma matriz simétrica real o seu ${\displaystyle i}$-ésimo autovalor (em ordem crescente) é uma função de Nash no subconjunto aberto de matrizes simétricas sem autovalores múltiplos.

As funções de Nash são aquelas funções necessárias para se ter um teorema da função implícita na geometria algébrica real.

Juntamente com as funções de Nash, definem-se as variedades de Nash (ou manifolds de Nash), que são subvariedades analíticas semialgébricas de algum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Uma aplicação de Nash (ou mapeamento de Nash) entre variedades de Nash é, então, uma aplicação analítica com gráfico semialgébrico. As funções e variedades de Nash recebem esse nome em homenagem a John Forbes Nash, Jr., que provou (1952) que qualquer variedade suave compacta admite uma estrutura de variedade de Nash, ou seja, é difeomorfa a alguma variedade de Nash. Mais genericamente, uma variedade suave admite uma estrutura de variedade de Nash se e somente se for difeomorfa ao interior de alguma variedade suave compacta possivelmente com fronteira. O resultado de Nash foi posteriormente completado (1973) por Alberto Tognoli, que provou que qualquer variedade suave compacta é difeomorfa a alguma variedade algébrica real afim; na verdade, qualquer variedade de Nash é Nash-difeomorfa a uma variedade algébrica real afim. Estes resultados exemplificam o fato de que a categoria de Nash é um tanto intermediária entre as categorias suave e algébrica.^[4][5]

As propriedades locais das funções de Nash são bem compreendidas. O anel de germes de funções de Nash num ponto de uma variedade de Nash de dimensão ${\displaystyle n}$ é isomorfo ao anel de séries de potências algébricas em ${\displaystyle n}$ variáveis (isto é, as séries que satisfazem uma equação polinomial não trivial), que é a henselização do anel de germes de funções racionais. Em particular, é um anel local regular de dimensão ${\displaystyle n}$.^[6][7]

As propriedades globais são mais difíceis de se obter. O fato de que o anel de funções de Nash numa variedade de Nash (mesmo não compacta) é noetheriano foi provado independentemente (1973) por Jean-Jacques Risler e Gustave Efroymson. As variedades de Nash têm propriedades semelhantes, mas mais fracas, do que os Teoremas A e B de Cartan sobre variedades de Stein. Seja ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ o feixe de germes de funções de Nash numa variedade de Nash ${\displaystyle M}$, e ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ um feixe coerente de ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$-ideais. Assuma que ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ seja finito, isto é, existe uma cobertura semialgébrica aberta finita ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ de ${\displaystyle M}$ tal que, para cada ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle {\mathcal {I}}|_{U_{i}}}$ seja gerado por funções de Nash em ${\displaystyle U_{i}}$. Então ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ é gerado globalmente por funções de Nash em ${\displaystyle M}$, e o mapa natural

${\displaystyle H^{0}(M,{\mathcal {N}})\to H^{0}(M,{\mathcal {N}}/{\mathcal {I}})}$

é sobrejetivo. No entanto,

${\displaystyle H^{1}(M,{\mathcal {N}})\neq 0,\ {\text{se}}\ \dim(M)>0,}$

ao contrário do caso das variedades de Stein.

As funções e variedades de Nash podem ser definidas sobre qualquer corpo real fechado em vez do corpo dos números reais, e as afirmações acima continuam válidas. Funções de Nash abstratas também podem ser definidas no espectro real de qualquer anel comutativo.^[8][9][10]

• J. Bochnak, M. Coste and M-F. Roy: Real algebraic geometry. Springer, 1998.
• M. Coste, J.M. Ruiz and M. Shiota: Global problems on Nash functions. Revista Matemática Complutense 17 (2004), 83--115.
• G. Efroymson: A Nullstellensatz for Nash rings. Pacific J. Math. 54 (1974), 101--112.
• J.F. Nash : Real algebraic manifolds. Annals of Mathematics 56 (1952), 405--421.
• J-J. Risler: Sur l'anneau des fonctions de Nash globales. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 276 (1973), A1513--A1516.
• M. Shiota: Nash manifolds. Springer, 1987.
• A. Tognoli: Su una congettura di Nash. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 27 (1973), 167--185.